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Planimetrie


Das Parallelogramm

Parallelogramm mit Diagonalen

Parallelogramm mit Diagonalen

Ein Viereck mit zwei paarweise parallelen Seiten wird Parallelogramm genannt. Nach Definition ist jedes Parallelogramm ein Trapez.

In der Abbildung sind die Seiten \(\overline{AB}\) und \(\overline{CD}\) sowie \(\overline{AD}\) und \(\overline{BC}\) parallel.

Die gegenüberliegenden Innenwinkel sind gleich; sie sind Wechselwinkel an den parallelen Seiten. Die benachbarten Winkel ergänzen sich zu 180°. (Sie sind Nebenwinkel.)

 
 

Satz 16GF (Charakterisierung des Parallelogramms)

  1. Ein Viereck ist genau dann ein Parallelogramm, wenn gegenüberliegende Seiten gleich lang sind.
  2. Ein Viereck ist genau dann ein Parallelogramm, wenn sich seine Diagonalen halbieren.

Beweis

(1) \(AB||CD\) und \(AD||BC\)

\(\iff \, \dfrac {|AB|}{|CD|}=\dfrac {|BE|}{|DE|}=\dfrac {|AE|}{|CE|}\) und \(\dfrac {|BC|}{|AD|}=\dfrac {|BE|}{|DE|}=\dfrac {|CE|}{|AE|}\)     (Strahlensätze)

Nun ist \(\dfrac {|AE|}{|CE|}=\dfrac {|CE|}{|AE|}\iff |AE|=|CE|\), daher gilt

\(|AB|=|CD|\) und \(|AD|=|BC|\).

Bei der Umkehrung benutzt man im letzten Schritt des Beweises die Umkehrung der Strahlensätze um auf die Parallelität \(AB||CD\) und \(AD||BC\) zu schließen. \(\qed\)

(2) Der Beweis des zweiten Teils ist schon im ersten Teil enthalten. Der folgende Beweis kommt ohne Strahlensatz aus und benutzt Kongruenzen von Dreiecken.

"\(\implies\)": Wenn \(E\) der Schnittpunkt der Diagonalen ist, dann sind die Dreiecke \(\Delta ABE\) und \(\Delta DEC\) kongruent. Sie stimmen in einer Seite (\(\overline{AB}\) bzw. \(\overline{CD}\)) und zwei anliegenden Winkeln (welche man als Wechselwinkel wiederfinden kann) überein. Damit gilt: \(|\overline{BE}|=|\overline{ED}|\). Durch einen analogen Schluss bei den anderen Teildreiecken ergibt sich die Behauptung.

"\(\Leftarrow\)": Seien nun in einem beliebigen Viereck die Diagonalenhälften gleich lang. Dann sind die Dreiecke \(ABE\) und \(CDE\) kongruent (zwei Seiten und eingeschlossener Winkel als Scheitelwinkel). Gleiches gilt für die Dreiecke \(AED\) und \(BEC\). Daher gilt \(|AB|=|CD|\) und \(|AD|=|BC|\) und nach Satz 16GF handelt es sich um ein Parallelogramm. \(\qed\)

Ein Mathematiker ist eine Maschine, die Kaffee in Theoreme verwandelt.

Paul Erdös

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