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Planimetrie


Das Parallelogramm

Parallelogramm mit Diagonalen
Parallelogramm mit Diagonalen
Ein Viereck mit zwei paarweise parallelen Seiten wird Parallelogramm genannt. Nach Definition ist jedes Parallelogramm ein Trapez.
In der Abbildung sind die Seiten AB und CD sowie AD und BC parallel.
Die gegenüberliegenden Innenwinkel sind gleich; sie sind Wechselwinkel an den parallelen Seiten. Die benachbarten Winkel ergänzen sich zu 180°. (Sie sind Nebenwinkel.)

Satz 16GF (Charakterisierung des Parallelogramms)

  1. Ein Viereck ist genau dann ein Parallelogramm, wenn gegenüberliegende Seiten gleich lang sind.
  2. Ein Viereck ist genau dann ein Parallelogramm, wenn sich seine Diagonalen halbieren.

Beweis

(1) AB||CD und AD||BC
wFormel und wFormel     (Strahlensätze)
Nun ist wFormel, daher gilt
| AB | = | CD | und | AD | = | BC | .
Bei der Umkehrung benutzt man im letzten Schritt des Beweises die Umkehrung der Strahlensätze um auf die Parallelität AB||CD und AD||BC zu schließen. wFormel
(2) Der Beweis des zweiten Teils ist schon im ersten Teil enthalten. Der folgende Beweis kommt ohne Strahlensatz aus und benutzt Kongruenzen von Dreiecken.
"wFormel": Wenn E der Schnittpunkt der Diagonalen ist, dann sind die Dreiecke wFormel und wFormel kongruent. Sie stimmen in einer Seite (AB bzw. CD) und zwei anliegenden Winkeln (welche man als Wechselwinkel wiederfinden kann) überein. Damit gilt: | BE | = | ED | . Durch einen analogen Schluss bei den anderen Teildreiecken ergibt sich die Behauptung.
"wFormel": Seien nun in einem beliebigen Viereck die Diagonalenhälften gleich lang. Dann sind die Dreiecke ABE und CDE kongruent (zwei Seiten und eingeschlossener Winkel als Scheitelwinkel). Gleiches gilt für die Dreiecke AED und BEC. Daher gilt | AB | = | CD | und | AD | = | BC | und nach Satz 16GF handelt es sich um ein Parallelogramm. wFormel

Religion und Mathematik sind nur verschiedene Ausdrucksformen derselben göttlichen Exaktheit.

Kardinal Michael Faulhaber

 

 

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