Logo Mathepedia Mathepedia auf Facebook
Wurzelzieher Blog
 

Planimetrie


Kreisabschnitt

Durch die Sehne \(\overline{AB}\) wird der Kreis in zwei Abschnitte eingeteilt.

Wir definieren die Größen \(r\) für den Radius des Kreises, \(h=|\overline{CD}|\) und \(a=|\overline{CB}|=|\overline{AB}|/2\), sowie \(\alpha=\angle BMC\).

Um den Flächeninhalt \(A\) des durch \(A,B\) und \(D\) bestimmten Sektors zu berechnen benutzen wir den Ansatz

(1)
\(A=A_K-A_D-A_S\),

dabei sind \(A_K=\pi r^2\) der Inhalt des Kreises, \(A_D\) der Flächeninhalt des Dreiecks \(\triangle AMB\), und \(A_S\) der Inhalt des Kreissektors \(ABM\) (hellgrau in der Grafik).

Es gilt

(2)
\(A_S=(\pi-\alpha)r^2\)

und nach Formel 5504A

(3)
\(A_D=2\cdot \dfrac 1 2 a(r-h)=a(r-h)\).

Zusammen mit (1) ergibt sich:

(4)
\(A=\pi r^2-(\pi-\alpha)r^2-a(r-h)=\alpha r^2-a(r-h)\).

Für die Bestimmung von \(\alpha\) benutzen wir die Definition des Kosinus

(5)
\(\cos\alpha=\dfrac {r-h} r=1-\dfrac h r\),

und für \(a\) hilft der Satz des Pythagoras weiter:

(6)
\(a^2+(r-h)^2=r^2\),

was nach \(a\) umgestellt

(7)
\(a=\sqrt{h(2r-h)}\)

ergibt.

Setzt man (5) und (7) in (4) ein, erhält man eine Flächenformel, die nur von \(r\) und \(h\) abhängt:

 
 

Formel 5509A (Flächeninhalt des Kreisabschnitts)

\(A=\arccos\braceNT{1-\dfrac h r}\, r^2-\sqrt{h(2r-h)}(r-h)\)

Berechnung

 \(r\)  :      \(h\)  :      \(\alpha\)  :     
 \(A\)  :      \(u\)  :           
 \(A_K\)  :      \(A_D\)  :      \(A_S\)  :     

Es konnten nicht alle Größen berechnet werden.

         

Es ist unmöglich, die Schönheiten der Naturgesetze angemessen zu vermitteln, wenn jemand die Mathematik nicht versteht. Ich bedaure das, aber es ist wohl so.

Richard Feynman

Copyright- und Lizenzinformationen: Diese Seite ist urheberlich geschützt und darf ohne Genehmigung des Autors nicht weiterverwendet werden.
Anbieterkеnnzeichnung: Wurzelzieher Mathеpеdιa  •  Тhοmas Stеιnfеld  • Dοrfplatz 25  •  17237 Blankеnsее  • Tel.: 01734332309 (Vodafone/D2)  •  Email: cο@maτhepedιa.dе
 
G: 27.01.2015 06:42:06 (561 ms; 381 M)
C: 27.01.2015 06:42:06 (561 ms; 381 M)