Logo Mathepedia Mathepedia auf Facebook
Puzzles, Logikrätsel und mehr
 

Planimetrie


Kreisabschnitt

Durch die Sehne \(\displaystyle \overline{AB}\) wird der Kreis in zwei Abschnitte eingeteilt.

Wir definieren die Größen \(\displaystyle r\) für den Radius des Kreises, \(\displaystyle h=|\overline{CD}|\) und \(\displaystyle a=|\overline{CB}|=|\overline{AB}|/2\), sowie \(\displaystyle \alpha=\angle BMC\).

Um den Flächeninhalt \(\displaystyle A\) des durch \(\displaystyle A,B\) und \(\displaystyle D\) bestimmten Sektors zu berechnen benutzen wir den Ansatz

(1)
\(\displaystyle A=A_K-A_D-A_S\),

dabei sind \(\displaystyle A_K=\pi r^2\) der Inhalt des Kreises, \(\displaystyle A_D\) der Flächeninhalt des Dreiecks \(\displaystyle \triangle AMB\), und \(\displaystyle A_S\) der Inhalt des Kreissektors \(\displaystyle ABM\) (hellgrau in der Grafik).

Es gilt

(2)
\(\displaystyle A_S=(\pi-\alpha)r^2\)

und nach Formel 5504A

(3)
\(\displaystyle A_D=2\cdot \dfrac 1 2 a(r-h)=a(r-h)\).

Zusammen mit (1) ergibt sich:

(4)
\(\displaystyle A=\pi r^2-(\pi-\alpha)r^2-a(r-h)=\alpha r^2-a(r-h)\).

Für die Bestimmung von \(\displaystyle \alpha\) benutzen wir die Definition des Kosinus

(5)
\(\displaystyle \cos\alpha=\dfrac {r-h} r=1-\dfrac h r\),

und für \(\displaystyle a\) hilft der Satz des Pythagoras weiter:

(6)
\(\displaystyle a^2+(r-h)^2=r^2\),

was nach \(\displaystyle a\) umgestellt

(7)
\(\displaystyle a=\sqrt{h(2r-h)}\)

ergibt.

Setzt man (5) und (7) in (4) ein, erhält man eine Flächenformel, die nur von \(\displaystyle r\) und \(\displaystyle h\) abhängt:

 
 

Formel 5509A (Flächeninhalt des Kreisabschnitts)

\(\displaystyle A=\arccos\braceNT{1-\dfrac h r}\, r^2-\sqrt{h(2r-h)}(r-h)\)

Berechnung

 \(\displaystyle r\)  :      \(\displaystyle h\)  :      \(\displaystyle \alpha\)  :     
 \(\displaystyle A\)  :      \(\displaystyle u\)  :           
 \(\displaystyle A_K\)  :      \(\displaystyle A_D\)  :      \(\displaystyle A_S\)  :     

Es konnten nicht alle Größen berechnet werden.

         

Es ist unglaublich, wie unwissend die studirende Jugend auf Universitäten kommt, wenn ich nur 10 Minuten rechne oder geometrisire, so schläft 1/4 derselben sanft ein.

Georg Christoph Lichtenberg

Copyright- und Lizenzinformationen: Diese Seite ist urheberlich geschützt und darf ohne Genehmigung des Autors nicht weiterverwendet werden.
Anbieterkеnnzeichnung: Wurzelzieher Mathеpеdιa  •  Тhοmas Stеιnfеld  • Dοrfplatz 25  •  17237 Blankеnsее  • Tel.: 01734332309 (Vodafone/D2)  •  Email: cο@maτhepedιa.dе
 
G: 28.04.2015 13:48:08 (476 ms; 310 M)
C: 28.04.2015 13:48:08 (514 ms; 310 M)