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Planimetrie


Kreisabschnitt

Durch die Sehne \(\displaystyle \overline{AB}\) wird der Kreis in zwei Abschnitte eingeteilt.

Wir definieren die Größen \(\displaystyle r\) für den Radius des Kreises, \(\displaystyle h=|\overline{CD}|\) und \(\displaystyle a=|\overline{CB}|=|\overline{AB}|/2\), sowie \(\displaystyle \alpha=\angle BMC\).

Um den Flächeninhalt \(\displaystyle A\) des durch \(\displaystyle A,B\) und \(\displaystyle D\) bestimmten Sektors zu berechnen benutzen wir den Ansatz

(1)
\(\displaystyle A=A_K-A_D-A_S\),

dabei sind \(\displaystyle A_K=\pi r^2\) der Inhalt des Kreises, \(\displaystyle A_D\) der Flächeninhalt des Dreiecks \(\displaystyle \triangle AMB\), und \(\displaystyle A_S\) der Inhalt des Kreissektors \(\displaystyle ABM\) (hellgrau in der Grafik).

Es gilt

(2)
\(\displaystyle A_S=(\pi-\alpha)r^2\)

und nach Formel 5504A

(3)
\(\displaystyle A_D=2\cdot \dfrac 1 2 a(r-h)=a(r-h)\).

Zusammen mit (1) ergibt sich:

(4)
\(\displaystyle A=\pi r^2-(\pi-\alpha)r^2-a(r-h)=\alpha r^2-a(r-h)\).

Für die Bestimmung von \(\displaystyle \alpha\) benutzen wir die Definition des Kosinus

(5)
\(\displaystyle \cos\alpha=\dfrac {r-h} r=1-\dfrac h r\),

und für \(\displaystyle a\) hilft der Satz des Pythagoras weiter:

(6)
\(\displaystyle a^2+(r-h)^2=r^2\),

was nach \(\displaystyle a\) umgestellt

(7)
\(\displaystyle a=\sqrt{h(2r-h)}\)

ergibt.

Setzt man (5) und (7) in (4) ein, erhält man eine Flächenformel, die nur von \(\displaystyle r\) und \(\displaystyle h\) abhängt:

 
 

Formel 5509A (Flächeninhalt des Kreisabschnitts)

\(\displaystyle A=\arccos\braceNT{1-\dfrac h r}\, r^2-\sqrt{h(2r-h)}(r-h)\)

Berechnung

 \(\displaystyle r\)  :      \(\displaystyle h\)  :      \(\displaystyle \alpha\)  :     
 \(\displaystyle A\)  :      \(\displaystyle u\)  :           
 \(\displaystyle A_K\)  :      \(\displaystyle A_D\)  :      \(\displaystyle A_S\)  :     

Es konnten nicht alle Größen berechnet werden.

         

So seltsam es auch klingen mag, die Stärke der Mathematik beruht auf dem Vermeiden jeder unnötigen Annahme und auf ihrer großartigen Einsparung an Denkarbeit.

Ernst Mach

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