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Zusammenhang

Ein metrischer Raum M heißt zusammenhängend, wenn M und die einzigen sowohl offenen als auch abgeschlossenen Mengen sind. Eine Teilmenge eines metrischen Raums heißt zusammenhängend, wenn A als metrischer Raum zusammenhängend ist. Eine zusammenhängende offene Menge heißt Gebiet.

Satz 16CH

Für einen metrischen Raum M sind die folgenden Aussagen äquivalent:

1. M ist zusammenhängend
2. M lässt sich nicht in zwei nicht leere offene Teilmengen zerlegen.
3. M lässt sich nicht in zwei nicht leere abgeschlossene Teilmengen zerlegen

Beweis

(ii) (iii) ergibt sich wenn man von A zum Komplement übergeht.

(i) (ii): M ist nicht zusammenhängend nach (i) Es gibt außer M noch eine offene und abgeschlossene Menge A ist offen und abgeschlossen M lässt sich in zwei nicht leere offene Mengen zerlegen nämlich A und .

Eine Menge heißt dann zusammenhängend, wenn der durch A gebildete Teilraum von M zusammenhängend ist. Die Aussagen von Satz 16CH gelten dann analog für zusammenhängende Teilmengen.

Ein Mathematiker, der nicht irgendwie ein Dichter ist, wird nie ein vollkommener Mathematiker sein.

Karl Weierstraß

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