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Wurzel (Mathematik)

In der Mathematik versteht man unter Wurzel das Ergebnis der Rechenoperation Radizieren (v. lat. Radix „Wurzel“). Das Radizieren ist (neben dem Logarithmieren) eine Umkehrung des Potenzierens.

Wurzelfunktionen

Schreibweise

Dies entspricht der Fragestellung: Für welche Zahl (Radix) gilt:

Beispiel

(sprich: „Dritte Wurzel aus 8“)

Bei der Schreibweise ist es üblich, dass der Wurzelexponent, der in der Regel links oben angeschrieben wird, weggelassen wird, falls er den Wert 2 hat:

In diesem Falle handelt es sich um eine Quadratwurzel. Oftmals wird die Quadratwurzel einfach die Wurzel genannt.

Des weiteren bezeichnet man Wurzeln mit Wurzelexponent 3 speziell als Kubikwurzeln.

Es ist zu beachten:

Die oben genannte Fragestellung hat oft mehrere Lösungen mit unterschiedlichen Vorzeichen, der Operator bedeutet dann grundsätzlich die positive Lösung.

Beispiel

Die Gleichung x² = 4 hat die beiden reellen Lösungen 2 und -2. Der Term hat dabei den Wert 2 und nicht den Wert -2.

Funktionen der Form

oder allgemeiner

heißen Wurzelfunktionen. Sie sind Potenzfunktionen, es gilt .

Daraus folgt:

, .

Die Rechenregeln für Wurzeln ergeben sich somit aus jenen für Potenzen.

Das Wurzelziehen wurde vom deutschen Mathematiker Adam Ries eingeführt. Der Operator stammt von dem kleinen Buchstaben r ab und steht für radizieren. Die Verlängerung des r über den vollständigen Term wurde erst später eingeführt.

Die Wurzelgesetze

Es gibt auch bei den Wurzeln Rechengesetze. Diese lauten folgendermaßen:

1. 
2. 
3. 
4. für
5. 
6. 

Wurzeln aus negativen Zahlen

Die Behandlung von Wurzeln aus negativen Zahlen ist nicht einheitlich. Es gilt beispielsweise

und - 2 ist die einzige reelle Zahl, deren dritte Potenz - 8 ist.

Die beiden folgenden Positionen werden vertreten:

• Wurzeln aus negativen Zahlen sind "verboten". ist also undefiniert.
• Wurzeln aus negativen Zahlen sind erlaubt, wenn der Exponent eine ungerade Zahl ist (3, 5, 7, ...). Für ungerade Zahlen n gilt generell:

.

Diese Festlegung ist mit manchen Eigenschaften der Wurzeln, die für positive Radikanden gelten, nicht vereinbar. Beispielsweise ist

Wurzeln zu geraden Exponenten aus negativen Zahlen können keine reellen Zahlen sein, weil gerade Potenzen reeller Zahlen nie negativ sind. Der Bedarf für Wurzeln aus negativen Zahlen führte zur Einführung der komplexen Zahlen; allerdings gibt es auch im Bereich der komplexen Zahlen Wurzeln aus negativen Zahlen nur mit gewissen Einschränkungen

Alle Pädagogen sind sich darin einig: man muß vor allem tüchtig Mathematik treiben, weil ihre Kenntnis fürs Leben größten direkten Nutzen gewährt.

Felix Klein

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