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Wendepunkt

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Ein Wendepunkt ist ein Punkt auf einem Funktionsgraphen, an welchem der Graph sein Krümmungsverhalten ändert. Ein Graph wechselt hier entweder von einer Rechts- in einer Linkskurve oder umgekehrt.

Dieser Wechsel wird auch Bogenwechsel genannt.

Die Ermittlung von Wendepunkten ist Bestandteil einer Kurvendiskussion.

Ein Wendepunkt an der Stelle x_W liegt vor, wenn die erste Ableitungsfunktion der differenzierbaren Funktion f an der Stelle x_W ein relatives Extremum besitzt. Daraus lassen sich mehrere Kriterien zur Bestimmung von Wendepunkten einer Funktion f ableiten.

Notwendiges Kriterium zur Bestimmung von Wendepunkten

Voraussetzungen:

1. f ist bei x_W zweimal differenzierbar

2. x_W ist Wendestelle

f''(x_W ) = 0

Hinreichende Kriterien zur Bestimmung von Wendepunkten

Die Funktion f sei in einer Umgebung von x_W dreimal differenzierbar. Falls gilt , so ist x_W Wendestelle. Wenn f''' > 0, dann ist x_W Rechts-Links-Wendestelle und wenn f''' < 0, dann ist x_W Links-Rechts-Wendestelle.

Falls die erste Ableitung an der Stelle x_W existiert und die zweite Ableitungsfunktion f''(x) an der Stelle x_W das Vorzeichen wechselt, so ist x_W ein Wendepunkt. Wenn f(x_W ) an x_W vom Positiven in das Negative wechselt, so ist x_W eine Links-Rechts-Wendestelle oder wenn f(x_W ) vom Negativen in das Positive wechselt, so ist x_W Rechts-Links-Wendestelle.

Ein Spezialfall der Wendestelle ist der Sattelpunkt.

Beispiel

Dann ist die zweite Ableitung der Funktion:

Dann muss

gesetzt werden.

Das Ergebnis ist x_W = 2.

Zugleich ist f'''(x) = 2 und daher ungleich 0, also handelt es sich um einen Wendepunkt.

Besondere Fälle

Der Graph dieser Funktion ändert bei x=0 sein Krümmungsverhalten (Übergang von Rechts- in Linkskrümmung).

Dennoch hat die Funktion bei x = 0 keinen Wendepunkt, da die erste Ableitung an der Stelle x = 0 nicht existiert.

Der Graph von f' hat daher für x = 0 kein Extremum.

Diese Funktion besitzt in x = 0 einen Wendepunkt, obwohl die 2. Ableitung dort nicht existiert.

Jedoch hat der Graph der 1. Ableitungsfunktion f' bei x = 0 ein Minimum.

Es ist unglaublich, wie unwissend die studirende Jugend auf Universitäten kommt, wenn ich nur 10 Minuten rechne oder geometrisire, so schläft 1/4 derselben sanfft ein.

Georg Christoph Lichtenberg

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