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Vollständigkeit in metrischen Räumen

Da in einem metrischen Raum nicht jede Cauchy-Folge konvergieren muss, gibt dies Anlass zur Definition der Vollständigkeit. Ein metrischer Raum (M,d) heißt vollständig, wenn jede Cauchy-Folge konvergiert.

Im übertragenen Sinn bedeutet die Vollständigkeit, dass der Raum keine Löcher enthält.

Beispiel

Die Aussage von Satz 5225B für reelle Zahlenfolgen bedeutet in der Sprache der metrischen Räume, dass die reellen Zahlen mit der Betragsmetrik ein vollständiger metrischer Raum sind.

Satz 5608G

Sei abgeschlossene Teilmenge eines vollständigen metrischen Raums (M,d). Dann ist (A,d) ein vollständiger metrischer Raum.

Beweis

Sei (a_n ) eine Cauchy-Folge, die nur Glieder aus A enthält. Dann ist (a_n ) wegen der Vollständigkeit von M konvergent und a sei der Grenzwert. Es gilt wegen Satz 5608E, dass a Häufungspunkt von A ist. Da A abgeschlossen war, enthält es alle Häufungspunkte, mithin gilt auch .

Seit die Mathematiker über die Relativitätstheorie hergefallen sind, verstehe ich sie selbst nicht mehr.

Albert Einstein

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