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Vereinigung von Mengen

Venndiagramm für die Vereinigung zweier Mengen

Die Vereinigung zweier Mengen ist die Menge, die diejenigen Elemente enthält, die wenigstens in einer der beiden Mengen enthalten ist.

Satz 12MF (Eigenschaften der Vereinigung)

Für Mengen A, B und C gilt:

1. (Kommutativgesetz)
2. (Assoziativgesetz)
3. (Idempotenz)
4. und

Beweis

Der Beweis ergibt sich durch Zurückführung auf die aussagenlogischen Identitäten.

Der Zusammenhang zwischen Durchschnitt und Vereinigung wird durch folgende Gesetze hergestellt.

Satz 12MG (Zusammenhang zwischen Durchschnitt und Vereinigung)

Für Mengen A, B und C gilt:

1. Distributivgesetze
   
   
2. Absorptionsgesetze
   
3. Verträglichkeitsgesetz
   
   

Beweis

(i) und (ii) rechnet man schnell über aussagenlogische Identitäten durch. Der Beweis des zweiten Teils ergibt sich dabei aus der aussagenlogischen Identität .

(iii) Sei , dann gilt wegen der Absorptionsgesetze . Die Umkehrung zeigt man analog.

Wir Mathematiker sind die wahren Dichter, nur müssen wir das, was unsere Phantasie schafft, noch beweisen.

Leopold Kronecker

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