Inhalt

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Verbände

Sei M eine teilweise geordnete Menge mit der Ordnung . M heißt verbandsgeordnete Menge oder Verband, wenn folgende Eigenschaften gelten:

1. Zu je zwei Elementen existiert das Infimum inf(a, b)
2. Zu je zwei Elementen existiert das Supremum sup(a, b)

Damit besitzen dann auch endliche Teilmengen von M Infimum und Supremum (Beweis durch vollständige Induktion).

Ist M selbst endlich, so besitzt M sowohl ein Minimum, das Ordnungsnull heißt, als auch ein Maximum, welches Ordnungseins genannt wird.

Jede kettengeordnete Menge ist ein Verband. Für jede zweielementige Teilmenge existieren dann Minimum und Maximum und sind mit dem Infimum und Supremum identische.

Beispiele

Das nebenstehende Hassediagramm veranschaulicht einen Verband (ohne hellrote Linie). Es gilt d = sup(a, b) und a = inf(c, d).

Nimmt man die hellrote Linie hinzu, so ist die Verbandsstruktur zerstört, da sowohl c als auch d obere Schranken von a und b sind. Wegen ihrer Unvergleichbarkeit existiert jedoch d = sup(a, b) nicht.

Algebraische Schreibweise

Um Gesetze mit Supremum und Infimum ohne tiefe Klammerung formulieren zu können, werden in Verbänden die Symbole für Supremum und für Infimum verwendet. Wir definieren:

Das ist ein Mittel, das Paradies nicht zu verfehlen: auf der einen Seite einen Mathematiker, auf der anderen einen Jesuiten; mit dieser Begleitung muß man seinen Weg machen, oder man macht ihn niemals.

Friedrich der Große

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