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Vektorprodukt

Wie die euklidische Ebene mit dem Orthokomplement eine Besonderheit hat, so hat auch der dreidimensionale euklidische Raum eine Besonderheit, die es in allgemeinen euklidischen Vektorräumen nicht gibt, das Vektorprodukt (andere Bezeichnung: äußeres Produkt oder Kreuzprodukt).

Für zwei Vektoren und definieren wir:

Satz 5325A (Eigenschaften des Vektorprodukts)

Für und gilt:

1. Distributivität des Vektorproduktes und
2. Antikommutativität
3. Identität von Grassmann:
4. Identität von Jacobi:
5. 

Beweis

Alle Behauptungen hat man durch Einsetzen der Definition schnell nachgerechnet.

Insbesondere kann man iv. aus iii. herleiten, indem man a, b und c zyklisch vertauscht.

Folgerungen

Aus der Antikommutativität können wir

schließen.

Aus v. können wir durch Setzen von a = b sofort schließen, dass

gilt. Damit steht das Vektorprodukt zweier Vektoren immer senkrecht auf beiden Vektoren:

und

Satz 93AA

Es gilt die verschärfte Cauchy-Schwarzsche Ungleichung

.

Beweis

Satz 5325A (v)

Identität von Grassmann

Die beste von allen Sprachen der Welt ist eine künstliche Sprache, eine ziemlich gedrängte Sprache, die Sprache der Mathematik.

N. I. Lobatschewski

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