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Variationsrechnung

Die Variationsrechnung ist eine Sparte der Mathematik, die um 1800 von Joseph-Louis Lagrange entwickelt wurde. Sie beschäftigt sich mit reellen Funktionen von Funktionen, die auch Funktionale genannt werden. Solche Funktionale können z. B. Integrale über eine unbekannte Funktion und ihre Ableitungen sein. Dabei interessiert man sich für stationäre Funktionen, also solche, für die das Funktional ein Maximum, Minimum oder Sattelpunkt annimmt. Einige klassische Probleme können sehr elegant mit Hilfe von Funktionalen formuliert werden.

Ein Beispiel ist das Brachistochronenproblem: Auf welcher Kurve in einem Schwerefeld von einem Punkt A zu einem Punkt B, der unterhalb, aber nicht direkt unter A liegt, benötigt ein Objekt die geringste Zeit zum Durchlaufen der Kurve? Von allen Kurven zwischen A und B minimiert eine den Ausdruck, der die Zeit des Durchlaufens der Kurve beschreibt. Dieser Ausdruck ist ein Integral, das die unbekannte, gesuchte Funktion, die die Kurve von A nach B beschreibt, und deren Ableitungen enthält.

Das Schlüsseltheorem der Variationsrechnung ist die Euler-Lagrange-Gleichung. Sie beschreibt die Stationäritätsbedingung eines Funktionals. Wie bei der Aufgabe, die Maxima und Minima einer Funktion zu bestimmen, wird sie aus der Analyse kleiner Änderungen um die angenommene Lösung hergeleitet.

Die Variationsrechnung ist besonders in der theoretischen Physik wichtig, so z. B. im Lagrange-Formalismus der klassischen Mechanik bzw. der Bahnbestimmung, in der Quantenmechanik in Anwendung des Prinzips der kleinsten Wirkung und in der statistischen Physik im Rahmen der Dichtefunktionaltheorie. In der Mathematik wurde die Variationsrechnung z. B. bei Bernhard Riemanns Behandlung des Dirichlet-Prinzips für harmonische Funktionen verwendet. Auch in der Steuerungs- und Regelungstheorie findet die Variationsrechnung Anwendung wenn es um die Bestimmung von Optimalreglern geht.

Die Methoden der Variationsrechnung tauchen bei den Hilbertraum-Techniken, der Morse-Theorie und bei der symplektischen Geometrie auf. Der Begriff Variation wird für alle Extremal-Probleme von Funktionen verwendet. Geodäsie und Differentialgeometrie sind Bereiche der Mathematik, in denen Variationen eine Rolle spielen. Besonders am Problem der minimalen Oberflächen, die z. B. bei Seifenblasen auftreten, wurde viel gearbeitet.

Ein Hilfsmittel aus der Analysis reeller Funktionen in einer reellen Veränderlichen

Im Folgenden wird eine wichtige Technik der Variationsrechnung demonstriert, bei der eine notwendige Aussage für eine lokale Minimumstelle einer reellen Funktion mit nur einer reellen Veränderlichen in eine notwendige Aussage für eine lokale Minimumstelle eines Funktionals übertragen wird. Diese Aussage kann dann oftmals zum Aufstellen beschreibender Gleichungen für stationäre Funktionen eines Funktionals benutzt werden.

Sei ein Funktional auf einem Funktionenraum X gegeben (X muss mind. ein topologischer Raum sein). Das Funktional habe an der Stelle ein lokales Minimum.

Durch den folgenden einfachen Trick tritt an die Stelle des "schwierig handhabbaren" Funktionals I eine reelle Funktion , die nur von einem reellen Parameter abhängt "und entsprechend einfacher zu behandeln ist".

Mit einem sei eine beliebige stetig durch den reellen Parameter parametrisierte Familie von Funktionen . Dabei sei die Funktion x₀ (d.h., für ) gerade gleich der stationären Funktion x. Außerdem sei die durch die Gleichung

definierte Funktion an der Stelle differenzierbar.

Die stetige Funktion F nimmt dann an der Stelle ein lokales Minimum an, da x₀ = x ein lokales Minimum von I ist.

Aus der Analysis für reelle Funktionen in einer reellen Veränderlichen ist bekannt, dass dann gilt. Auf das Funktional übertragen heißt das

Beim Aufstellen der gewünschten Gleichungen für stationäre Funktionen wird dann noch ausgenutzt, dass die vorstehende Gleichung für jede beliebige ("gutartige") Familie mit x₀ = x gelten muss.

Das soll im nächsten Abschnitt anhand der Euler-Gleichung demonstriert werden.

Beispiel: Euler-Lagrange-Gleichung

Gegeben seien zwei Zeitpunkte mit t_e > t_a und eine in allen Argumenten "genügend oft" stetig differenzierbare Funktion .

Als Funktionenraum X wird die Menge aller mind. zweimal stetig differenzierbaren Funktionen gewählt, die zum Anfangszeitpunkt t_a und zum Endzeitpunkt t_e die fest vorgegebenen Orte x_a bzw. x_b einnehmen: x(t_a ) = x_a , x(t_b ) = x_b .

Mit der oben bereit gestellten Funktion G wird nun das Funktional durch die Gleichung

definiert. Gesucht ist diejenige Funktion , die das Funktional I minimiert.

Entsprechend der im vorhergehenden Abschnitt vorgestellten Technik untersuchen wir dazu alle differenzierbaren einparametrigen Familien , die für durch die stationäre Funktion x des Funktionals gehen (es gilt also x₀ = x). Genutzt wird die im letzten Abschnitt hergeleitete Gleichung

Hereinziehen der Differentation nach dem Parameter in das Integral liefert mit der Kettenregel die Gleichung

Dabei stehen für die Ableitungen nach dem zweiten bzw. dritten Argument und für die partielle Ableitung nach dem Parameter .

Es wird sich später als günstig erweisen, wenn im zweiten Integral statt wie im ersten Integral steht. Das erreicht man durch partielle Integration:

An den Stellen t = t_a und t = t_b gelten unabhängig von die Bedingungen und . Ableiten der zwei Konstanten nach liefert . Deshalb verschwindet der Term und man erhält nach Zusammenfassen der Integrale und Ausklammern von die Gleichung

und mit die Gleichung

Außer zum Anfangszeitpunkt und zum Endzeitpunkt unterliegt keinen Einschränkungen. Damit sind die Zeitfunktionen bis auf die Bedingungen beliebige zweimal stetig differenzierbare Zeitfunktionen. Die letzte Gleichung kann also nur dann für alle zulässigen erfüllt sein, wenn der Faktor im gesamten Integrationsintervall gleich null ist (das wird in den Bemerkungen etwas detaillierter erläutert). Damit erhält man für die stationäre Funktion x die Euler-Lagrange-Gleichung

die für alle erfüllt sein muss.

Bemerkungen

$Die Funktion t\mapsto b(t) für t_0=1 und \epsilon=0.1$

Die Funktion

für t₀ = 1 und

Bei der Herleitung der Euler-Lagrange-Gleichung wurde benutzt, dass eine stetige Funktion a, die für alle mind. zweimal stetig differenzierbaren Funktionen b mit b(t_a ) = b(t_e ) = 0 bei Integration über

den Wert Null ergibt, identisch gleich null sein muss.

Das ist leicht einzusehen, wenn man berücksichtigt, dass es zum Beispiel mit

oder

Eine zweimal stetig differenzierbare Funktion gibt, die in einer -Umgebung eines willkürlich herausgegriffenen Zeitpunktes positiv und ansonsten null ist. Gäbe es eine Stelle t₀ , an der die Funktion a größer oder kleiner null wäre, so wäre sie aufgrund der Stetigkeit auch noch in einer ganzen Umgebung dieser Stelle größer bzw. kleiner null. Mit der eben definierten Funktion b ist dann jedoch das Integral im Widerspruch zur Voraussetzung an a ebenfalls größer bzw. kleiner null. Die Annahme, dass a an einer Stelle t₀ ungleich null wäre, ist also falsch. Die Funktion a ist also wirklich identisch gleich null.

Ist der Funktionenraum X ein affiner Raum, so wird die Familie in der Literatur oftmals als Summe mit einer frei wählbaren Zeitfunktion h festgelegt, die der Bedingung h(t_a ) = h(t_e ) = 0 genügen muss. Die Ableitung ist dann gerade die Gateaux-Ableitung des Funktionals I an der Stelle x in Richtung h. Die hier vorgestellte Version erscheint dem Autor etwas günstiger, wenn die Funktionenmenge X kein affiner Raum mehr ist (wenn sie z.B. durch eine nichtlineare Nebenbedingung eingeschränkt ist; siehe z.B. Gaußsches Prinzip des kleinsten Zwanges). Sie ist ausführlicher in [1] dargestellt und lehnt sich an die Definition von Tangentialvektoren an Mannigfaltigkeiten an (siehe auch [2]).

Vor allem in Physikbüchern wird statt oftmals kurz geschrieben. Die Größe wird dann als (erste) Variation des Funktionals I bezeichnet. Analoge Bezeichnungen werden auch für andere Variablen eingeführt, wie z.B. .

Literatur

W. I. Smirnow, Lehrgang der höheren Mathematik, Teil (IV/1), 17. Auflage, VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1990.
H. Fischer und H. Kaul, Mathematik für Physiker, Band 3, 1. Auflage, Teubner Verlag, Wiesbaden 2003.

Siehe auch

Kurvendiskussion
Variation der Elemente

Seit die Mathematiker über die Relativitätstheorie hergefallen sind, verstehe ich sie selbst nicht mehr.

Albert Einstein

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