Inhalt

Grundlagen der Mathematik

Diskrete Mathematik

Algebra

Gleichungen

Gruppen

Halbgruppen und Monoide

Beispiele

Gruppentafel

Kommutative Gruppen

Untergruppen

Erzeugte Untergruppen

Komplexprodukt

Nebenklassen

Normalteiler

Faktorgruppen

Zentrum

Homomorphismus

Spezielle Gruppen

Isomorphietypen

Ringe und Körper

Algebren

Polynome

Differentialgleichungen

Funktionalanalysis

Differentialgeometrie

Anbieterkennzeichnung

Weiterbildung für alle! Über 200 Fernlehrgänge an Deutschlands größter Fernschule!

Untergruppen

Sei eine Gruppe, eine nichtleere Teilmenge von G. Wenn H bezüglich eine Gruppe ist, so heißt Untergruppe von .

Nicht jede Teilmenge muss bzgl. der Operation eine Gruppe sein. Man betrachte nur die natürlichen Zahlen als Teilmenge von , welche bezüglich der Addition keine Gruppe bilden.

Bemerkung 16IP

Wenn Untergruppe zu ist und e das neutrale Element von , dann ist e auch das neutrale Element von .

Wenn a' Inverses zu a bezüglich , dann ist es auch Inverses zu a bezüglich .

Damit stimmen das neutrale Elegant und die inversen Elemente einer Untergruppe mit denen der Gruppe überein.

Beispiele

ist eine Untergruppe von , die ihrerseits eine Untergruppe von ist.

ist für alle n eine Untergruppe von .

Betrachte man alle durch 2 teilbaren Zahlen aus , so bilden diese bzgl. der Addition ein Gruppe, sind also Untergruppe von . Analoges kann man für alle durch 3, 4 etc. teilbaren Zahlen feststellen.

Wenn Sym(F) die Symmetriegruppe einer ebenen Figur ist, so bilden die Drehungen Rot(F) eine Untergruppe zu dieser. Man überzeugt sich leicht, dass zwei Drehungen immer wieder eine Drehung ergeben und die Umkehrung einer Drehung wieder eine Drehung ist.

Die Spiegelungen bilden im Allgemeinen keine Untergruppe, da man sich schon an der Symmetriegruppe des Rechtecks klarmachen kann, dass die Hintereinanderausführung der Spiegelungen eine Drehung ergibt.

Auch erhalten wir die Symmetriegruppe des Rechtecks als Untergruppe der Symmetriegruppe des Quadrats.

Satz 5210A (Untergruppenkriterium)

Eine nichtleere Teilmenge ist genau dann Untergruppe von G, wenn für zwei Elemente gilt: .

Beweis

Wenn H Untergruppe von G ist, ist die Behauptung trivial erfüllt. Bleibt die Rückrichtung zu zeigen.

Die Assoziativität gilt auf Grund der Assoziativität in G. Es ist , da mit nach Voraussetzung auch . Auf Grund von ist mit a also auch a^-1 in H. Damit ist aber auch wegen der Abschluss gegenüber der Produktbildung gezeigt.

Satz 5210B (Durchschnittssatz)

Der Durchschnitt beliebiger Untergruppen ist eine Untergruppe.

Mathematisch formuliert: Sei eine Gruppe und eine beliebige Familie von Untergruppen.

Dann ist der Durchschnitt bezüglich eine Untergruppe.

Beweis

H ist nicht leer, da

H ist bzgl. abgeschlossen. Für alle gilt: (Denn , also .)

Wenn gilt für alle , damit gilt aber für alle i, denn die H_i sind Untergruppen. Damit muss aber auch sein.

Seit man begonnen hat, die einfachsten Behauptungen zu beweisen, erwiesen sich viele von ihnen als falsch.

Bertrand Russell

Druckansicht

Impressum: Wurzelzieher Mathepedia • Thomas Steinfeld • Dorfplatz 25 • 17237 Blankensee • Tel.: 01734332309 (Vodafone/D2) • Email: matһе@wυrzеlzιeher.de

Amazon.de empfiehlt: