Inhalt

- Grundlagen der Mathematik

- Diskrete Mathematik

- Algebra

   - Gleichungen

   - Gruppen

   - Ringe und Körper

      - Grundlegende Eigenschaften

          Nullteiler

          Integritätsbereich

         - Beispiele

          Einheiten

          Teilringe

          Unter- und Oberkörper

         - Charakteristik

          Euklidische Ringe

          Monoidringe

      - Ideale und Homomorphismen

      - Körpererweiterungen

      - Angeordnete Körper

   - Algebren

   - Polynome

   - Verbandstheorie

- Lineare Algebra

- Geometrie

- Analysis

- Differentialgleichungen

- Funktionalanalysis

- Differentialgeometrie

- Topologie

- Numerik

- Stochastik

- Unsortiertes

- Anbieterkennzeichnung

Unterkörper und Oberkörper

Ein Unterkörper (oder Teilkörper) eines Körpers L ist eine Teilmenge , die 0 und 1 enthält und mit den auf K eingeschränkten Verknüpfungen selbst ein Körper ist. L wird dann Oberkörper von K genannt.

Eine Teilmenge ist genau dann ein Teilkörper von L, wenn sie 0 und 1 enthält und bezüglich der vier Verknüpfungen Addition, Multiplikation, Negation und Kehrwertbildung abgeschlossen ist, d.h. die Verknüpfung von Elementen von K liefert wieder ein Element von K.

Zum Beispiel ist der Körper der komplexen Zahlen ein Oberkörper des Körpers der reellen Zahlen.

Primkörper

Unter einem Primkörper versteht man einen Körper, der keine echten Teilkörper enthält.

Eigenschaften von Primkörpern

Jeder Primkörper ist (bis auf Isomorphie) entweder (also der Körper der rationalen Zahlen) oder ein -Körper mit p prim (d.h. ein Restklassenkörper modulo p).

Jeder Körper enthält einen Primkörper. Ist die Charakteristik des Körpers 0, so ist dessen Primkörper isomorph zu , ist sie hingegen eine Primzahl p, so ist der Primkörper isomorph zu . Damit kann jeder Körper als Erweiterungskörper seines Primkörpers angesehen werden.

Ich glaube, daß es, im strengsten Verstand, für den Menschen nur eine einzige Wissenschaft gibt, und diese ist reine Mathematik. Hierzu bedürfen wir nichts weiter als unseren Geist.

Georg Christoph Lichtenberg

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