Yacas Reloaded - Freies Computer Algebra System

Inhalt

Grundlagen der Mathematik

Analysis

Reelle Zahlen

Reelle Funktionen

Definitionen

Klassen von Funktionen

Grenzwerte und Stetigkeit

Differentialrechnung

Integralrechnung

Unbestimmtes Integral

Riemann-Integral

Mittelwertsatz

Hauptsatz

Anwendungen

Uneigentliche Integrale

Konvergenzkriterien

Beziehung zu Reihen

Implizite Funktionen

Funktionsfolgen und -reihen

Spezielle Funktionen

Mehrdimensionale Analysis

Funktionentheorie

Spezielle Teilgebiete

Maß- und Integrationstheorie

Variationsrechnung

Nichtstandardanalysis

Differentialgleichungen

Funktionalanalysis

Differentialgeometrie

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Uneigentliche Integrale

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Motivation

Das bestimmte Integral war unter der Voraussetzung definiert, dass sowohl das Integrationsintervall, als auch die zu integrierende Funktion beschränkt sind. Ist eine dieser Voraussetzungen nicht erfüllt, so verliert die Definition vorerst ihren Sinn. So sind Integrale wie erst einmal nicht definiert.

Ist f integrierbar über [a, b], so gilt nach Satz 5316A

was die folgenden Definitionen motiviert.

Definition

Vereinbarungen

Ist ein Intervall und eine Funktion, so sei f über jedem Teilintervall von I integrierbar und es sei stets , und mit und a < b.

Definition uneigentliches Integral

Sei (bzw. ) eine Funktion. Das uneigentliche Integral (bzw. ) heißt konvergent falls der Grenzwert (bzw. ) existiert.

In diesem Fall setzen wir:

(bzw.

)

Ein nicht konvergentes uneigentliches Integral heißt divergent.

Beispiele

Beispiel 16QM

Allgemein: sei , t > 1.

konvergiert

konvergiert .

$Die Funktion \small{ y=\frac 1\sqrt{1-x^2}}$

Die Funktion

Die Funktion ist für x = 1 unbeschränkt. Unter Benutzung von Satz 5315A ermitteln wir:

Beispiel 16QN

ist konvergent und .

Analog: .

Definition

Sei eine Funktion. Das uneigentliche Integral heißt konvergent , sodass und konvergent sind.

In diesem Fall setzen wir:

Diese Definition hängt nicht von der Wahl von c ab.

Beispiel

ist divergiert, da für beliebiges das unbestimmte Integral divergiert.

Achtung! Es ist jedoch .

Sei . Nach Beispiel 16QM weiter oben ist divergent.

Nach Beispiel 16QN weiter oben konvergiert und ist gleich .

Seit man begonnen hat, die einfachsten Behauptungen zu beweisen, erwiesen sich viele von ihnen als falsch.

Bertrand Russell

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