Inhalt

- Grundlagen der Mathematik

- Diskrete Mathematik

- Algebra

- Lineare Algebra

- Geometrie

- Analysis

- Differentialgleichungen

- Funktionalanalysis

- Differentialgeometrie

- Topologie

   - Metrische Räume

       Halbmetrische Räume

       Ultrametriken

      - Beispiele

      - Umgebungen und Mengen

          Innere, äußere und

          Randpunkte

          Offener Kern

          Offene Mengen

          Abgeschlossene Mengen

          Rand und abgeschlossene

          Hülle

          Häufungspunkte

          Dichte Mengen

          Cantormenge

          Zusammenhang

      - Folgen und Konvergenz

      - Abbildungen und Stetigkeit

      - Kompaktheit

       Gleichmäßige Stetigkeit

   - Topologische Vektorräume

- Numerik

- Stochastik

- Unsortiertes

- Anbieterkennzeichnung

Umgebungen

Die Teilmenge

heißt -Umgebungdes Puntkes x. Andere Schreibweisen sind (B für ball) oder für offene Kugel um x mit dem Radius .

Eine Teilmenge U heißt Umgebung von x, wenn es ein gibt mit . Um die Umgebungseigenschaft zu kennzeichnen schreiben wir dann U(x)

Beispiele

In sind die -Umgebungen die offenen Intervalle der Form .

-Umgebungen im

Im mit der euklidischen Metrik sind die -Umgebungen um x genau die (Hyper)-Kugeln mit dem Mittelpunkt x Radius . Bei der Maximummetrik handelt es sich um Würfel mit der Kantenlänge .

Satz 16RB (Eigenschaften von Umgebungen)

Für jede Umgebung U(x) gilt:

1. Ist U Umgebung von x, so gilt
2. Gilt , so ist V Umgebung von x
3. Sind U und V Umgebungen von x, so auch (Mittels vollständiger Induktion erweitert man diese Behauptung auf endlich viele Mengen)
4. Ist U eine Umgebung von x, so gibt es eine Umgebung V(x), so dass für alle U Umgebung von y ist. Damit gilt auch

Obwohl die Aussagen des Satzes trivial erscheinen, haben sie jedoch eine gewisse theoretische Bedeutung. Baut man die Theorie der topologischen Räume auf den Umgebungsbegriff auf, so sind dies die dafür erforderlichen Axiome. Alle Sätze, deren Beweis auf diesen Satz beruhen, können dann für topologische Räume ohne erneuten Beweis übernommen werden.

Beweis

(i) wegen .

(ii) wegen .

(iii) es existieren mit und . Setze . Für gilt

und

,

.

(iv) es existiert mit . Setze . Für einen Punkt wählen wir . Dann gilt sicher . Wenn , dann gilt . Damit ist und die Behauptung gezeigt.

Bemerkung 16RE

Der Beweis von (iv) zeigt außerdem, dass eine -Umgebung mit einem Punkt immer eine ganze Umgebung um diesen enthält.

Alle Pädagogen sind sich darin einig: man muß vor allem tüchtig Mathematik treiben, weil ihre Kenntnis fürs Leben größten direkten Nutzen gewährt.

Felix Klein

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