Inhalt

- Grundlagen der Mathematik

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- Differentialgeometrie

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   - Metrische Räume

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       Ultrametriken

      - Beispiele

      - Umgebungen und Mengen

      - Folgen und Konvergenz

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Ultrametriken

Eine Metrik d heißt Ultrametrik, wenn

für alle gilt.

Beispiele

Die diskrete Metrik ist eine Ultrametrik.

Sei p eine Primzahl, dann gibt es zu jeder rationalen Zahl genau eine ganze Zahl z(q), so dass Zähler und Nenner des gekürzten Bruches qp ^{- z(q)} nicht durch p teilbar sind. Sei definiert durch d(x, y) = p ^{- z(x, y)} , falls und d(x, y) = 0 sonst. Dann ist ein metrischer Raum und d ist sogar eine Ultrametrik, die sogenannte p-adische Ultrametrik

Ist S eine beliebige nichtleere Menge, dann kann man die Menge aller Folgen in S zu einem metrischen Raum machen, indem man den Abstand zweier verschiedener Folgen (x_n ), (y_n ) auf den Wert 1/N setzt, wobei N der kleinste Index ist, für den x_N verschieden ist von y_N . Der Abstand einer Folge zu sich selbst wird auf 0 gesetzt. Dieser metrische Raum ist dann vollständig und ultrametrisch.

Satz 7CPI

Jedes Dreieck aus Punkten eines ultrametrischen Raums S ist gleichseitig oder gleichschenklig, wobei die Basis die kürzere Seite ist.

Beweis

Sind a, b, c die Abstände der drei Eckpunkte (a = d(B, C) usw.), dann ist entweder a=b=c (ABC gleichseitig) oder eine Seite ist kürzer als eine andere.

ObdA nehmen wir an, dass a < b, es ist , also , und , also ist ABC dann gleichschenklig mit kürzerer Basis BC.

Eine mathematische Wahrheit ist an sich weder einfach noch kompliziert, sie ist.

Émile Lemoine

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