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Topologischer Vektorraum

Ein topologischer Vektorraum ist ein Vektorraum, auf dem neben seiner algebraischen auch noch eine damit verträgliche topologische Struktur definiert ist.

Sei K=R oder K=C. Ein K-Vektorraum E, der zugleich topologischer Raum ist, heißt topologischer Vektorraum, wenn folgende Verträglichkeitsaxiome gelten:

• Die Addition E×E→E ist stetig,
• Die Skalarmultiplikation K×E→E ist stetig.

Bemerkungen:

• Manchmal wird auch zusätzlich gefordert, dass E ein Hausdorff-Raum ist.
• (E,+) ist eine topologische Gruppe.
• Es ist wichtig, dass die beiden genannten Abbildungen nicht nur komponentenweise stetig sind.

Beispiele

Lokalkonvexer Raum; Frechetraum; Banachraum

Es gibt keinen Königsweg zur Mathematik.

Euklid

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