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Topologische Gruppe

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In der Mathematik ist eine topologische Gruppe eine Gruppe, die zusätzlich eine mit der Gruppenstruktur „verträgliche“ Topologie hat. Die topologische Struktur erlaubt es zum Beispiel, Grenzwerte in dieser Gruppe zu betrachten, und von stetigen Homomorphismen zu reden.

Definition

Eine Gruppe G heißt topologische Gruppe, wenn sie mit einer Topologie so versehen ist, dass gilt:

Die Gruppenverknüpfung G × G -> G ist stetig. Dabei wird G × G mit der Produkttopologie versehen.
Die Inversenabbildung G -> G ist stetig.

Beispiele

Die reellen Zahlen mit der Addition und der gewöhnlichen Topologie bilden eine topologische Gruppe. Allgemeiner ist der n-dimensionale euklidische Raum mit der Vektoraddition und der Standard-Topologie eine topologische Gruppe. Auch jeder Banachraum und Hilbertraum ist eine topologische Gruppe bezüglich der Addition.

Die obigen Beispiele sind alle abelsch. Ein wichtiges Beispiel für eine nichtabelsche topologische Gruppe ist die Gruppe GL aller invertierbaren reellen n-mal-n-Matrizen. Die Topologie entsteht dabei, indem man diese Gruppe als Teilmenge des euklidischen Vektorraums auffasst.

ist ebenso wie GL eine Lie-Gruppe, das heißt eine topologische Gruppe, bei der die topologische Struktur die einer Mannigfaltigkeit ist.

Ein Beispiel einer topologischen Gruppe, die keine Lie-Gruppe ist, bildet die additive Gruppe der rationalen Zahlen (sie ist eine abzählbare Menge die nicht mit der diskreten Topologie versehen ist). Ein nichtabelsches Beispiel ist die Untergruppe der Drehgruppe des , die erzeugt wird von zwei Drehungen um irrationale Vielfache von (der Kreiszahl Pi) um verschiedene Achsen.

In jeder unitären Banach-Algebra bildet die Menge der invertierbaren Elemente mit der Multiplikation eine topologische Gruppe.

Eigenschaften

Die algebraische und topologische Struktur für eine topologische Gruppe G sind eng miteinander verknüpft. So ist zum Beispiel in einer beliebigen topologischen Gruppe die Zusammenhangskomponente des Neutralelementes eine abgeschlossene normale Untergruppe von G.

Ist a ein Element einer topologischen Gruppe G, dann sind die Linksmultiplikation und die Rechtsmultiplikation mit a Homöomorphismen von G nach G, ebenso die Inversenabbildung.

Jede topologische Gruppe kann auf zwei Arten als uniformer Raum aufgefasst werden. Die linke uniforme Struktur macht die Linksmultiplikation gleichmäßig stetig. Ebenso existiert eine rechte uniforme Struktur, welche die Rechtsmultiplikation gleichmäßig stetig macht. Für nicht abelsche Gruppen unterscheiden sich die beiden uniformen Strukturen im Allgemeinen. Die uniformen Strukturen erlauben es insbesondere Begriffe wie Vollständigkeit, gleichmäßige Stetigkeit und gleichmäßige Konvergenz zu definieren.

Wie jede von einem uniformen Raum erzeugte Topologie, ist die Topologie einer topologischen Gruppe vollständig regulär. Insbesondere gilt, dass eine topologische Gruppe, welche T₀ erfüllt (d.h. ein wenn sie ein Kolmogorof-Raum ist), sogar ein Hausdorff-Raum ist.

Der natürlichste Begriff eines Homomorphismus zwischen topologischen Gruppen ist derjenige eines stetigen Gruppenhomomorphismus. Die topologischen Gruppen zusammen mit den stetigen Gruppenhomomorphismen bilden eine Kategorie.

Jede Untergruppe einer topologischen Gruppe ist mit der Teilraumtopologie wiederum eine topologische Gruppe. Für eine Untergruppe H von G bilden die Links- und Rechtsnebenklassen G/H zusammen mit der Quotiententopologie einen topologischen Raum.

Falls H eine normale Untergruppe von G ist, so wird G/H eine topologische Gruppe. Zu beachten ist aber, dass, falls H in der Topologie von G nicht abgeschlossen ist, die resultierende Topologie auf G/H das Axiom T₀ nicht erfüllt. Es ist deshalb natürlich, sich auf die Kategorie von T₀ topologischen Gruppen einzuschränken und den Begriff von normal als normal und abgeschlossen zu definieren.

Falls H eine Untergruppe von G ist, so ist auch die abgeschlossene Hülle von H wiederum eine Untergruppe. Ebenso ist der Abschluss eines Normalteilers wieder normal.

Seit der Zeit der Griechen bedeutet "Mathematik" zu sagen, "Beweis" zu sagen.

N. Bourbaki

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