Inhalt

- Grundlagen der Mathematik

- Diskrete Mathematik

   - Kombinatorik

   - Graphentheorie

   - Zahlentheorie

       Geschichtliches

      - Natürliche Zahlen

          Axiomensystem nach Peano

         - Vollständige Induktion

         - Teilbarkeit

             Teilbarkeitsregeln

            - Primzahlen

             ggT

             kgV

             Berechnung

             Beispiele

         - Induktive Definitionen

      - Ganze Zahlen

      - Elementare Zahlentheorie

       Analytische Zahlentheorie

- Algebra

- Lineare Algebra

- Geometrie

- Analysis

- Differentialgleichungen

- Funktionalanalysis

- Differentialgeometrie

- Topologie

- Numerik

- Stochastik

- Unsortiertes

- Anbieterkennzeichnung

Teilbarkeit

Im Bereich der natürlichen Zahlen ist die Division nicht uneingeschränkt ausführbar, d.h. die positiven natürlichen Zahlen bilden bzgl. der Multiplikation keine Gruppe.

Diese Feststellung motiviert die folgenden Definition:

Eine natürliche Zahl m heißt Teiler einer natürlichen Zahl n, wenn es eine natürliche Zahl x gibt, mit . Schreibweise: m | n. man sagt dann auch, dass n durch m teilbar ist.

Eine natürliche Zahl n heißt gerade, wenn 2 | n, andernfalls heißt n ungerade. Jede natürliche Zahl ist entweder gerade oder ungerade.

Beispiel

3 ist Teiler von 6 (3 | 6), denn .

Satz 5303A (Eigenschaften der Teilbarkeit)

Seien k, m und n positive natürliche Zahlen. Dann gilt

1. n | n für alle n (Reflexivität)
2. Aus m | n und n | m folgt m = n (Antisymmetrie)
3. Aus k | m und m | n folgt k | n (Transitivität)
4. 1 | n für alle n

Beweis

(i) und (iv) gelten wegen

(ii) Sein m | n und n | m, dann gibt es ein x mit und ein y mit . Also und . Da aber x und y natürliche Zahlen sind, muss x = y = 1 gelten und daher m = n.

(iii) Mit k | m gibt es ein x, so dass und mit m | n gibt es dementsprechend ein y, so dass . Also gilt: und mit ergibt sich die Behauptung sofort.

Wegen der Eigenschaften (i)-(iii) aus Satz 5303A ist die Teilbarkeit eine teilweise Ordnung in den positiven natürlichen Zahlen. Diese Ordnung ist keine totale Ordnung, da z.B. 2 und 3 (und im allgemeinen alle teilerfremden Zahlen) bzgl. dieser Ordnung nicht vergleichbar sind.

Satz 5303L

Seien k, m und n positive natürliche Zahlen. Dann gilt:

Beweis

(i) Wegen k | m gibt es ein x mit m = kx und ebenso gibt es wegen k | n ein y mit n = ky. Nun gilt: m + n = kx + ky = k(x + y) und damit k | (m + n).

(ii) Beweis ist analog zu (i).

Satz 5417C (Division mit Rest)

Seien a und b natürliche Zahlen mit , dann gibt es eindeutig bestimmte natürliche Zahlen q und r, so dass

(1)

und

gilt. Die Zahl q heißt Quotient und die Zahl r heißt der Rest bei der Division durch b.

Seit die Mathematiker über die Relativitätstheorie hergefallen sind, verstehe ich sie selbst nicht mehr.

Albert Einstein

Druckansicht     

Amazon.de empfiehlt:

Arbeitshefte Mathematik - Neubearbeitung: Arbeitsheft Mathem...

Arbeitshefte Mathematik - Neubearbeitung: Arbeitsheft Mathem...

Arbeitshefte Mathematik - Neubearbeitung: Arbeitsheft Mathem...

Grundlagen der Mathematik für Studium und Lehramt: Mengen, F...

Lutz Warlich

Teilbarkeit und Unteilbarkeit des Geständnisses im Zivilproz...

Schmidt

Arbeitsheft Mathematik, Bd.2, Teilbarkeit, Brüche, Geometrie

Bücher zum Thema natürliche Zahlen auf
• bol.de
• buch.de
• buecher.de
• libri.de