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Reelle Funktionen


Taylorreihen

Die Approximation von Funktionen in der Nähe eines Punktes durch möglichst einfache Funktionen wie Polynome führt auf die so genannten Taylorreihen.
Zuerst zeigen wir, dass man Polynome an beliebigen Stellen in Potenzreihen entwickeln kann.

Satz 16K4 (Potenzreihendarstellung von Polynomen)

Sei wFormel ein Polynom n -ten Grades. Dann gilt:
wFormel

Beweis

1. Fall: Sei x0 = 0.
wFormel;
wFormel;
...
wFormel
Also
p(k) (0) = k!ak für wFormel
p(k) (0) = 0 für wFormel
wFormel
2. Fall: Sei x0 beliebig.
Man setze q(y) := p(y + x0 ).
Es gilt q(k) (y) = p(k) (y + x0 ), q(k) (0) = p(k) (x0 ).
p(y + x0 ) = q(y)wFormelwFormel
Die Substitution y := x - x0 ergibt wFormel wFormel

 

Sei f eine n -mal stetig differenzierbare Funktion in x0 . Wegen Satz 16K4 liegt es nahe, den Ausdruck
wFormel
zur Approximation von f in der Nähe von x0 zu verwenden.

Definitionen

Sei wFormel ein Intervall und wFormel in wFormel eine n-mal differenzierbare Funktion. Dann heißt:
wFormel
definiert durch
wFormel
n-tes Taylorpolynom von f im Punkt x0 .
Sei wFormel beliebig oft differenzierbar in wFormel. Dann heißt
wFormel
Taylorreihe von f in x mit Entwicklungspunkt x0 .
Gilt für eine unendlich oft differenzierbare Funktion wFormel in wFormel: wFormel , so sagt man, f ist in I eine Taylorreihe entwickelbar mit dem Entwicklungspunkt x0 .
Rn (f;x0 ) = f - Tn (f;x0 ) oder kürzer Rn heißt Restglied.
wFormel in x0 genau dann taylorentwickelbar, wenn wFormel
Bei einem Spezialfall der Taylorreihe mit Entwicklungspunkt 0 spricht man auch von der MacLaurinschen Reihe.

Beispiele

Exponentialfunktion

f(x) = ex , wFormel beliebig. f(k) (x0 ) = ex0 .
f(x) = ex = ex0 ex - x0 wFormel wFormel wFormel. Also ist f(x) = ex für wFormel taylorentwickelbar.

Eine nicht taylorentwickelbare Funktion

f ist für x_0=0 nicht taylorentwickelbar
f ist für x0 = 0 nicht taylorentwickelbar
wFormel
Es gilt f(k) (0) = 0 für k = 0, 1, 2, .... Somit ist wFormel. Aber wFormel für wFormel. Damit ist f in x0 = 0 nicht taylorentwickelbar.

Eine Funktion, die sehr schlecht durch die Taylorreihe approximiert wird

Die Taylorreihe einer Funktion konvergiert nicht immer gegen die Funktion. Im folgenden Beispiel stimmt die Taylorreihe auf keiner Umgebung um den Entwicklungspunkt mit der Ausgangsfunktion überein:
wFormel
Als reelle Funktion ist f unendlich oft stetig differenzierbar, wobei die Ableitungen in jedem Punkt wFormel (insbesondere für x = 0) ausnahmslos 0 sind. Die Taylorreihe um den Nullpunkt ist also die Nullfunktion, und stimmt in keiner Umgebung der 0 mit f überein. Die Taylorreihe um einen Punkt a > 0 konvergiert zwischen 0 und 2a gegen f.

Es ist unmöglich, die Schönheiten der Naturgesetze angemessen zu vermitteln, wenn jemand die Mathematik nicht versteht. Ich bedaure das, aber es ist wohl so.

Richard Feynman

 

 

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