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Wurzelzieher Blog
 

Reelle Funktionen


Taylorreihen

Die Approximation von Funktionen in der Nähe eines Punktes durch möglichst einfache Funktionen wie Polynome führt auf die so genannten Taylorreihen.

Zuerst zeigen wir, dass man Polynome an beliebigen Stellen in Potenzreihen entwickeln kann.

Satz 16K4 (Potenzreihendarstellung von Polynomen)

Sei \(\displaystyle p(x)=\sum\limits_{k=0}^n a_kx^k\) ein Polynom \(\displaystyle n\) -ten Grades. Dann gilt:

\(\displaystyle p(x)=\sum\limits_{k=0}^n \dfrac{p^{(k)}(x_0)}{k!} (x-x_0)^k\)

 
 

Beweis

1. Fall: Sei \(\displaystyle x_0=0\).

\(\displaystyle p'(x)= a_1+2a_2x+\cdots+na_nx^{n-1}\);

\(\displaystyle p''(x)= 2a_2+\cdots+n(n-1)a_nx^{n-2}\);

...

\(\displaystyle p^{(k)}(x)= k!a_k+\cdots+n(n-1)(n-k+1)a_nx^{n-k}\)

Also

\(\displaystyle p^{(k)}(0)= k!a_k\) für \(\displaystyle 0\leq k\leq n\)

\(\displaystyle p^{(k)}(0)= 0\) für \(\displaystyle k\geq n+1\)

\(\displaystyle \Rightarrow p(x)=\sum\limits_{k-0}^n \dfrac{p^{(k)}(0)}{k!}x^k \)

2. Fall: Sei \(\displaystyle x_0\) beliebig.

Man setze \(\displaystyle q(y):=p(y+x_0)\).

Es gilt \(\displaystyle q^{(k)} (y)=p^{(k)}(y+x_0)\), \(\displaystyle q^{(k)}(0)=p^{(k)}(x_0)\).

\(\displaystyle p(y+x_0)=q(y)\)\(\displaystyle =\sum\limits_{k=0}^n \dfrac{q^{(k)}(0)}{k!}y^k\)\(\displaystyle =\sum\limits_{k=0}^n \dfrac{p^{(k)}(x_0)}{k!}y^k\)

Die Substitution \(\displaystyle y:=x-x_0\) ergibt \(\displaystyle p(x)=\sum\limits_{k=0}^n \dfrac{p^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k\) \(\displaystyle \qed\)

 

Sei \(\displaystyle f\) eine \(\displaystyle n\) -mal stetig differenzierbare Funktion in \(\displaystyle x_0\). Wegen Satz 16K4 liegt es nahe, den Ausdruck

\(\displaystyle \sum\limits_{k=0}^n \dfrac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k\)

zur Approximation von \(\displaystyle f\) in der Nähe von \(\displaystyle x_0\) zu verwenden.

Definitionen

Sei \(\displaystyle I\subset\R\) ein Intervall und \(\displaystyle f:I\rightarrow\R\) in \(\displaystyle x_0 \in I\) eine \(\displaystyle n\)-mal differenzierbare Funktion. Dann heißt:

\(\displaystyle T_n(f;x_0):\R\rightarrow\R\)

definiert durch

\(\displaystyle T_n(f;x_0):=\sum\limits_{k=0}^n \dfrac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k\)

\(\displaystyle n\)-tes Taylorpolynom von \(\displaystyle f\) im Punkt \(\displaystyle x_0\).

Sei \(\displaystyle f:I\rightarrow\R\) beliebig oft differenzierbar in \(\displaystyle x\in I\). Dann heißt

\(\displaystyle T(f;x_0)(x):=\sum\limits_{k=0}^\infty \dfrac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k\)

Taylorreihe von \(\displaystyle f\) in \(\displaystyle x\) mit Entwicklungspunkt \(\displaystyle x_0\).

Gilt für eine unendlich oft differenzierbare Funktion \(\displaystyle f:I\rightarrow\R\) in \(\displaystyle x_0\in I\): \(\displaystyle f(x)=\sum\limits_{k=0}^\infty \dfrac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k\) , so sagt man, \(\displaystyle f\) ist in \(\displaystyle I\) eine Taylorreihe entwickelbar mit dem Entwicklungspunkt \(\displaystyle x_0\).

\(\displaystyle R_n(f;x_0)=f-T_n(f;x_0)\) oder kürzer \(\displaystyle R_n\) heißt Restglied.

\(\displaystyle f:I\rightarrow\R\) in \(\displaystyle x_0\) genau dann taylorentwickelbar, wenn \(\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty} R_n(x)=0\)

Bei einem Spezialfall der Taylorreihe mit Entwicklungspunkt 0 spricht man auch von der MacLaurinschen Reihe.

Beispiele

Exponentialfunktion

\(\displaystyle f(x)=e^x\), \(\displaystyle x_0\in\R\) beliebig. \(\displaystyle f^{(k)}(x_0)= e^{x_0}\).

\(\displaystyle f(x)= e^x=e^{x_0}e^{x-x_0}\) \(\displaystyle = e^{x_0}\sum\limits_{k=0}^\infty \dfrac{(x-x_0)^k}{k!}\) \(\displaystyle = \sum\limits_{k=0}^\infty \dfrac{e^{x_0}}{k!}(x-x_0)^k\) \(\displaystyle = \sum\limits_{k=0}^\infty \dfrac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k \). Also ist \(\displaystyle f(x)=e^x\) für \(\displaystyle x_0\in\R\) taylorentwickelbar.

Eine nicht taylorentwickelbare Funktion

f ist für x_0=0 nicht taylorentwickelbar

\(\displaystyle f\) ist für \(\displaystyle x_0=0\) nicht taylorentwickelbar

\(\displaystyle f(x)=\begin{cases} e^{-\dfrac{1}{x^2}} & x\neq 0\\ 0 & x=0 \end{cases}\)

Es gilt \(\displaystyle f^{(k)}(0)=0\) für \(\displaystyle k=0,1,2,\dots\). Somit ist \(\displaystyle T(f;x_0=0)= \sum\limits_{k=0}^\infty \dfrac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k=0\). Aber \(\displaystyle f(x)\neq 0\) für \(\displaystyle x\neq 0\). Damit ist \(\displaystyle f\) in \(\displaystyle x_0=0\) nicht taylorentwickelbar.

Eine Funktion, die sehr schlecht durch die Taylorreihe approximiert wird

Die Taylorreihe einer Funktion konvergiert nicht immer gegen die Funktion. Im folgenden Beispiel stimmt die Taylorreihe auf keiner Umgebung um den Entwicklungspunkt mit der Ausgangsfunktion überein:

\(\displaystyle f(x) =\ntxbraceKO{ \array { {\e^{-1/x}}& \text {falls} &{x>0} \\ 0 &\text {falls}& {x\leq 0}}} \)

Als reelle Funktion ist \(\displaystyle f \) unendlich oft stetig differenzierbar, wobei die Ableitungen in jedem Punkt \(\displaystyle x \leq 0 \) (insbesondere für \(\displaystyle x =0 \)) ausnahmslos 0 sind. Die Taylorreihe um den Nullpunkt ist also die Nullfunktion, und stimmt in keiner Umgebung der 0 mit \(\displaystyle f \) überein. Die Taylorreihe um einen Punkt \(\displaystyle a >0 \) konvergiert zwischen 0 und \(\displaystyle 2a \) gegen \(\displaystyle f \).

Wer die erhabene Weisheit der Mathematik tadelt, nährt sich von Verwirrung.

Leonardo da Vinci

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