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Wurzelzieher Blog
 

Reelle Funktionen


Taylorreihen

Die Approximation von Funktionen in der Nähe eines Punktes durch möglichst einfache Funktionen wie Polynome führt auf die so genannten Taylorreihen.

Zuerst zeigen wir, dass man Polynome an beliebigen Stellen in Potenzreihen entwickeln kann.

Satz 16K4 (Potenzreihendarstellung von Polynomen)

Sei \(p(x)=\sum\limits_{k=0}^n a_kx^k\) ein Polynom \(n\) -ten Grades. Dann gilt:

\(p(x)=\sum\limits_{k=0}^n \dfrac{p^{(k)}(x_0)}{k!} (x-x_0)^k\)

 
 

Beweis

1. Fall: Sei \(x_0=0\).

\( p'(x)= a_1+2a_2x+\cdots+na_nx^{n-1}\);

\( p''(x)= 2a_2+\cdots+n(n-1)a_nx^{n-2}\);

...

\(p^{(k)}(x)= k!a_k+\cdots+n(n-1)(n-k+1)a_nx^{n-k}\)

Also

\(p^{(k)}(0)= k!a_k\) für \(0\leq k\leq n\)

\( p^{(k)}(0)= 0\) für \( k\geq n+1\)

\(\Rightarrow p(x)=\sum\limits_{k-0}^n \dfrac{p^{(k)}(0)}{k!}x^k \)

2. Fall: Sei \(x_0\) beliebig.

Man setze \(q(y):=p(y+x_0)\).

Es gilt \(q^{(k)} (y)=p^{(k)}(y+x_0)\), \(q^{(k)}(0)=p^{(k)}(x_0)\).

\(p(y+x_0)=q(y)\)\( =\sum\limits_{k=0}^n \dfrac{q^{(k)}(0)}{k!}y^k\)\( =\sum\limits_{k=0}^n \dfrac{p^{(k)}(x_0)}{k!}y^k\)

Die Substitution \(y:=x-x_0\) ergibt \( p(x)=\sum\limits_{k=0}^n \dfrac{p^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k\) \(\qed\)

 

Sei \(f\) eine \(n\) -mal stetig differenzierbare Funktion in \(x_0\). Wegen Satz 16K4 liegt es nahe, den Ausdruck

\(\sum\limits_{k=0}^n \dfrac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k\)

zur Approximation von \(f\) in der Nähe von \(x_0\) zu verwenden.

Definitionen

Sei \(I\subset\R\) ein Intervall und \(f:I\rightarrow\R\) in \(x_0 \in I\) eine \(n\)-mal differenzierbare Funktion. Dann heißt:

\(T_n(f;x_0):\R\rightarrow\R\)

definiert durch

\(T_n(f;x_0):=\sum\limits_{k=0}^n \dfrac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k\)

\(n\)-tes Taylorpolynom von \(f\) im Punkt \(x_0\).

Sei \(f:I\rightarrow\R\) beliebig oft differenzierbar in \(x\in I\). Dann heißt

\(T(f;x_0)(x):=\sum\limits_{k=0}^\infty \dfrac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k\)

Taylorreihe von \(f\) in \(x\) mit Entwicklungspunkt \(x_0\).

Gilt für eine unendlich oft differenzierbare Funktion \(f:I\rightarrow\R\) in \(x_0\in I\): \( f(x)=\sum\limits_{k=0}^\infty \dfrac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k\) , so sagt man, \(f\) ist in \(I\) eine Taylorreihe entwickelbar mit dem Entwicklungspunkt \(x_0\).

\(R_n(f;x_0)=f-T_n(f;x_0)\) oder kürzer \(R_n\) heißt Restglied.

\(f:I\rightarrow\R\) in \(x_0\) genau dann taylorentwickelbar, wenn \(\lim_{n\rightarrow\infty} R_n(x)=0\)

Bei einem Spezialfall der Taylorreihe mit Entwicklungspunkt 0 spricht man auch von der MacLaurinschen Reihe.

Beispiele

Exponentialfunktion

\(f(x)=e^x\), \(x_0\in\R\) beliebig. \(f^{(k)}(x_0)= e^{x_0}\).

\(f(x)= e^x=e^{x_0}e^{x-x_0}\) \(= e^{x_0}\sum\limits_{k=0}^\infty \dfrac{(x-x_0)^k}{k!}\) \( = \sum\limits_{k=0}^\infty \dfrac{e^{x_0}}{k!}(x-x_0)^k\) \( = \sum\limits_{k=0}^\infty \dfrac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k \). Also ist \(f(x)=e^x\) für \(x_0\in\R\) taylorentwickelbar.

Eine nicht taylorentwickelbare Funktion

f ist für x_0=0 nicht taylorentwickelbar

\(f\) ist für \(x_0=0\) nicht taylorentwickelbar

\(f(x)=\begin{cases} e^{-\dfrac{1}{x^2}} & x\neq 0\\ 0 & x=0 \end{cases}\)

Es gilt \(f^{(k)}(0)=0\) für \(k=0,1,2,\dots\). Somit ist \(T(f;x_0=0)= \sum\limits_{k=0}^\infty \dfrac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k=0\). Aber \(f(x)\neq 0\) für \(x\neq 0\). Damit ist \(f\) in \(x_0=0\) nicht taylorentwickelbar.

Eine Funktion, die sehr schlecht durch die Taylorreihe approximiert wird

Die Taylorreihe einer Funktion konvergiert nicht immer gegen die Funktion. Im folgenden Beispiel stimmt die Taylorreihe auf keiner Umgebung um den Entwicklungspunkt mit der Ausgangsfunktion überein:

\(f(x) =\ntxbraceKO{ \array { {\e^{-1/x}}& \text {falls} &{x>0} \\ 0 &\text {falls}& {x\leq 0}}} \)

Als reelle Funktion ist \( f \) unendlich oft stetig differenzierbar, wobei die Ableitungen in jedem Punkt \( x \leq 0 \) (insbesondere für \( x =0 \)) ausnahmslos 0 sind. Die Taylorreihe um den Nullpunkt ist also die Nullfunktion, und stimmt in keiner Umgebung der 0 mit \( f \) überein. Die Taylorreihe um einen Punkt \( a >0 \) konvergiert zwischen 0 und \( 2a \) gegen \( f \).

Nicht etwa, daß bei größerer Verbreitung des Einblickes in die Methode der Mathematik notwendigerweise viel mehr Kluges gesagt würde als heute, aber es würde sicher viel weniger Unkluges gesagt.

Karl Menger

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