Tangens und Kotangens

Graphen der Tangens- und Kotangensfunktion (Argument x im Bogenmaß).

Graphen der Tangens- und Kotangensfunktion (Argument \(\displaystyle x\) im Bogenmaß).

Die Tangens- und Kotangensfunktion sind trigonometrische Funktionen. Der Tangens des Winkels \(\displaystyle x\) wird mit \(\displaystyle \tan x\ \) bezeichnet, der Kotangens des Winkels \(\displaystyle x\) mit \(\displaystyle \cot x \).

Geometrische Definition

Tangens und Kotangens am Einheitskreis: Die grünen Strecken entsprechen dem Tangens und die blauen dem Kotangens.

Tangens und Kotangens am Einheitskreis: Die grünen Strecken entsprechen dem Tangens und die blauen dem Kotangens.

Die Wahl des Namens Tangens erklärt sich unmittelbar durch die Definition im Einheitskreis. Die Funktionswerte entsprechen der Länge eines Tangentenabschnitts:

\(\displaystyle \tan \alpha=\frac y x \)
\(\displaystyle \cot \alpha=\frac x y\),

was aus den Verhältnisgleichungen \(\displaystyle \frac {\tan\alpha} 1= \frac y x\) und \(\displaystyle \frac {\tan\alpha} y= \frac 1 x\) für den Tangens bzw. \(\displaystyle \frac {\cot\alpha} 1= \frac x y\) und \(\displaystyle \frac {\cot\alpha} x= \frac 1 y\) für den Kotangens folgt.

Ein rechtwinkliges Dreieck, mit Bezeichnungen der drei Seiten bezogen auf einen variablen Winkel \alpha  am Punkt A und einen rechten Winkel am Punkt C.

Ein rechtwinkliges Dreieck, mit Bezeichnungen der drei Seiten bezogen auf einen variablen Winkel \(\displaystyle \alpha \) am Punkt \(\displaystyle A\) und einen rechten Winkel am Punkt C.

In einem rechtwinkligen Dreieck ist der Tangens eines Winkels \(\displaystyle \alpha\) das Längenverhältnis von Gegenkathete zu Ankathete und der Kotangens das Längenverhältnis von Ankathete zu Gegenkathete:

\(\displaystyle \begin{align} \tan \alpha&=\frac{l_\text{Gegenkathete}}{l_\text{Ankathete}}=\frac{a}{b} = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\\ \cot \alpha&=\frac{l_\text{Ankathete}}{l_\text{Gegenkathete}} = \frac{b}{a} = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \end{align}\)

 
 

Satz 5220C

  1. \(\displaystyle \tan x\cdot\cot x=1\qquad\) \(\displaystyle \cot x =\dfrac 1 {\tan x}\)
  2. \(\displaystyle \tan \braceNT{\dfrac \pi 2-x}=\cot x\) \(\displaystyle \cot \, \braceNT{\dfrac \pi 2-x}=\tan x\)

Beweis

(i) folgt direkt aus den Definitionen.

(ii) Mit Satz 5220B: \(\displaystyle \tan \braceNT{\dfrac \pi 2-x}=\dfrac {\sin \braceNT{\dfrac \pi 2-x}}{\cos \braceNT{\dfrac \pi 2-x}}\) \(\displaystyle =\dfrac{\cos x}{\sin x}=\cot x\). Kotangens analog. \(\displaystyle \qed\)

Definition durch Sinus und Kosinus

Formal kann die Tangensfunktion mittels der Sinus- und Kosinusfunktionen durch

\(\displaystyle \tan: \R\setminus\left\{k\pi + \frac \pi 2, k\in\mathbb Z\right\}\to\R\) mit \(\displaystyle \tan x:=\frac{\sin x}{\cos x}\),

definiert werden, wobei alle \(\displaystyle x\in \R\) ausgeschlossen wurden für die \(\displaystyle \cos x =0\).

Der Kotangens kann analog dazu durch

\(\displaystyle \cot\colon\R\setminus\left\{k\pi, k\in\mathbb Z\right\}\to \R,\) mit \(\displaystyle \cot x:=\frac{\cos x}{\sin x}\)

definiert werden, wobei alle \(\displaystyle x\in \R\) ausgeschlossen wurden für die \(\displaystyle \sin x =0\).

Eigenschaften

Periodizität

Periodenlänge \(\displaystyle \pi\) (halbe Drehung): \(\displaystyle \tan(x+\pi) = \tan(x)\)

Monotonie

Tangens: Im jeweiligen Intervall streng monoton steigend.

Kotangens: Im jeweiligen Intervall streng monoton fallend.

Symmetrien

Punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung:

\(\displaystyle \tan(-x) = -\tan x \qquad\qquad \cot(-x) = -\cot x\).

Beides sind also ungerade Funktionen.

Nullstellen

Tangens: \(\displaystyle x = n \cdot \pi\, ;\quad n \in \mathbb{Z}\)

Kotangens: \(\displaystyle x = \left(\frac{1}{2} + n\right) \cdot \pi\, ;\quad n \in \mathbb{Z}\)

Polstellen

Tangens: \(\displaystyle x = \left(\frac{1}{2} + n\right) \cdot \pi\, ;\quad n \in \mathbb{Z}\)

Kotangens: \(\displaystyle x = n \cdot \pi\, ;\quad n \in \mathbb{Z}\)

Wendestellen

Tangens: \(\displaystyle x = n \cdot \pi\, ;\quad n \in \mathbb{Z}\)

Kotangens: \(\displaystyle x = \left(\frac{1}{2} + n\right) \cdot \pi\, ;\quad n \in \mathbb{Z}\)

Sowohl die Tangensfunktion als auch die Kotangensfunktion haben Asymptoten, aber keine Sprungstellen oder Extrema.

Wichtige Funktionswerte

Tangens Kotangens Wert num. Wert
\(\displaystyle \tan0^\circ\) \(\displaystyle \cot90^\circ\) \(\displaystyle 0\) 0
\(\displaystyle \tan15^\circ\) \(\displaystyle \cot75^\circ\) \(\displaystyle 2 - \sqrt3\) 0.2679491…
\(\displaystyle \tan22{,}5^\circ\) \(\displaystyle \cot67{,}5^\circ\) \(\displaystyle \sqrt2-1\) 0,4142135…
\(\displaystyle \tan30^\circ\) \(\displaystyle \cot60^\circ\) \(\displaystyle 1/\sqrt3\) 0,5773502…
\(\displaystyle \tan45^\circ\) \(\displaystyle \cot45^\circ\) \(\displaystyle 1\) 1
\(\displaystyle \tan60^\circ\) \(\displaystyle \cot30^\circ\) \(\displaystyle \sqrt3\) 1,7320508…
\(\displaystyle \tan67{,}5^\circ\) \(\displaystyle \cot22{,}5^\circ\) \(\displaystyle \sqrt2+1\) 2,4142135…
\(\displaystyle \tan75^\circ\) \(\displaystyle \cot15^\circ\) \(\displaystyle 2 + \sqrt3\) 3.7320508…
\(\displaystyle \lim_{\alpha \to 90^\circ} \tan\alpha\) \(\displaystyle \lim_{\alpha \to 0^\circ} \cot\alpha\) \(\displaystyle \pm\infty\,\) Polstelle

Umkehrfunktion

Die Umkehrfunktionen zu Tangens und Kotangens sind der Arkustangens und Arkuskotangens.

Reihenentwicklung

Tangens

Die Taylorreihe mit dem Entwicklungspunkt \(\displaystyle x = 0\) (Maclaurinsche Reihe) lautet für \(\displaystyle |x|<\frac{\pi}{2}\)

\(\displaystyle \begin{align} \tan x &= x+\frac13 x^3+\frac{2}{15}x^5+\frac{17}{315}x^7+\dotsb\\ &= \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1} \cdot 2^{2n} \cdot \left(2^{2n} -1\right) \cdot B_{2n}}{(2n)!} x^{2n - 1}. \end{align}\)

Dabei sind mit \(\displaystyle B_n\) die Bernoulli-Zahlen bezeichnet.

Kotangens

Die Laurent-Reihe lautet für \(\displaystyle 0<|x|<\pi\)

\(\displaystyle \begin{align} \cot x &= \frac 1x - \frac 13x - \frac 1{45}x^3 - \frac 2{945}x^5 - \frac 1{4725}x^7 - \dotsb\\ &=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{2^{2n} B_{2n}}{(2n)!} x^{2n - 1}. \end{align}\)

Die Partialbruchzerlegung des Kotangens lautet für \(\displaystyle x\in\mathbb C\setminus\mathbb Z\)

\(\displaystyle \begin{align} \pi\cot\pi x &= \frac1x+\sum_{k=1}^\infty\left(\frac1{x+k}+\frac1{x-k}\right)\\ &= \frac1x+\sum_{k=1}^\infty\frac{2x}{x^2-k^2}. \end{align}\)

Ableitung

Bei der Ableitung von Tangens und Kotangens tauchen die ansonsten eher wenig gebräuchlichen trigonometrischen Funktionen Sekans und Kosekans auf:

\(\displaystyle \frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\tan x = 1 + \tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}=\sec^2 x\)
\(\displaystyle \frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\cot x = -1 - \cot^2 x = -\frac1{\sin^2x}=- \csc^2 x\)

Stammfunktionen

Tangens:

\(\displaystyle \int \tan (ax+b)\ \mathrm dx = - \frac{\ln|\cos (ax+b)|}{a}+C \) mit \(\displaystyle ax + b \ne (2k +1)\frac{\pi}{2} (k \in \mathbb{Z})\)

Kotangens:

\(\displaystyle \int \cot (ax+b)\ \mathrm dx = \frac{\ln|\sin (ax+b)|}{a}+C\) mit \(\displaystyle ax + b \ne k\pi (k \in \mathbb{Z}) \)

Alles, was lediglich wahrscheinlich ist, ist wahrscheinlich falsch.

Rene Descartes

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