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Zufallsvariablen


Standardabweichung - Formel und Definition

Definition

Die Standardabweichung ist ein Maß für die Streuung der Werte einer Zufallsvariablen um ihren Mittelwert. Sie ist für eine Zufallsvariable \(\displaystyle X\) definiert als die positive Quadratwurzel aus deren Varianz und wird als \(\displaystyle \sigma_x = \sqrt{\operatorname{Var}(X)}\) notiert.

Formel

Die Standardabweichung einer Zufallsvariablen \(\displaystyle X\) ist mathematisch definiert als die Quadratwurzel einer anderen Streuungsmaßzahl, der Varianz:

\(\displaystyle \sigma_X := \sqrt{E\braceNT{(X-E\braceNT{X})^2}} \) \(\displaystyle =\sqrt{\operatorname{E}(X^2)-\braceNT{\operatorname{E}(X)}^2}\),

dabei bezeichnet \(\displaystyle E(A)\) den Erwartungswert der Zufallsgröße \(\displaystyle A\).

Die Standardabweichung hat gegenüber der Varianz den Vorteil, dass sie die gleiche Einheit hat wie die ursprünglichen Messwerte.

 
 

Beispiel (mit Schwankungsbreite)

Mittleres Alter (beispielsweise in einer Tanzschule) = (17,5 ± 1,2) Jahre. Beide Werte zusammen ergeben die mittlere Schwankungsbreite, MW ± s = 16,3 bis 18,7 Jahre.

Sie gilt im Falle normalverteilter Mengen (siehe Glockenkurve) mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. 68 % (jene von 2\(\displaystyle \sigma\) mit ca. 95 %). Demnach lässt obige Schwankungsbreite erwarten, dass

  • 16 % der Tanzschüler jünger als 16,3 Jahre sind (und 2 - 3 % unter 15,1 Jahre) und
  • 16 % älter als 18,7 Jahre (und 2 - 3 % über 19,9 Jahre) sind.

Dieses Beispiel hat jedoch kaum Normalverteilung, denn es sind vermutlich von den Kursteilnehmern mehr als 2,5 % älter als 20 Jahre.

  • Faustregeln für die Praxis sind: Werte außerhalb der zwei- bis dreifachen Standardabweichung werden oft als Ausreißer behandelt. Ausreißer können ein Hinweis auf grobe Fehler der Datenerfassung sein. Es kann den Daten aber auch eine stark schiefe Verteilung zu Grunde liegen. Andererseits muss ca. jeder 20ste Messwert außerhalb der zweifachen Standardabweichung liegen.

Schätzung der Standardabweichung aus einer Stichprobe

Sind die \(\displaystyle x_i\) unabhängig identisch verteilte Zufallsvariablen, also beispielsweise eine Stichprobe, so wird die Standardabweichung der Grundgesamtheit häufig mit der Formel

\(\displaystyle s_X := \sqrt{\dfrac{1}{N-1} \sum\limits_{i=1}^N{(x_i-\bar{x})^2}} \)

geschätzt.

Dabei ist

  • \(\displaystyle s_X\) der Schätzer für die Standardabweichung \(\displaystyle \sigma_X\) der Grundgesamtheit
  • \(\displaystyle N\) der Stichprobenumfang (Anzahl der Werte bzw. Anzahl der Freiheitsgrade)
  • \(\displaystyle x_i\) die Merkmalsausprägungen am \(\displaystyle i\)-ten Element der Stichprobe
  • \(\displaystyle \bar{x}= \dfrac{1}{N} \sum\limits_{i=1}^N{x_i}\) der empirische Mittelwert, also das arithmetische Mittel der Stichprobe.

Diese Formel erklärt sich daraus, dass die Stichprobenvarianz

\(\displaystyle s_X^2 := \dfrac{1}{N-1} \sum\limits_{i=1}^N{(x_i-\bar{x})^2}\)

ein erwartungstreuer Schätzer für die Varianz \(\displaystyle \sigma_X^2\) der Grundgesamtheit ist. \(\displaystyle s_X\) ist aber kein erwartungstreuer Schätzer für die Standardabweichung, denn da die Quadratwurzel eine konkave Funktion ist folgt aus der Jensenschen Ungleichung

\(\displaystyle Es_X = E\sqrt {s^2_X} \leq \sqrt{E\braceNT{s^2_x}} = \sigma_X\),

dieser Schätzer unterschätzt also die Standardabweichung der Grundgesamtheit.

Für den Fall normalverteilter Zufallsgrößen lässt sich allerdings ein erwartungstreuer Schätzer angeben.

\(\displaystyle \hat{\sigma} = \sqrt{\dfrac{n-1}{2}} \ \dfrac{\Gamma\braceNT{\dfrac{n-1}{2}}} {\Gamma\braceNT{\dfrac{n}{2}}} \ s_X \)

Dabei ist

  • \(\displaystyle \hat{\sigma}\) die erwartungstreue Schätzung der Standardabweichung und
  • \(\displaystyle \Gamma(x)\) die Gammafunktion.

Beispiel

Es wurden bei einer Stichprobe die fünf Werte 3, 4, 5, 6, 7 gemessen. Man soll nun die Schätzung für die Standardabweichung errechnen.

Der Korrekturfaktor ist in diesem Fall

\(\displaystyle \sqrt{2} \ \dfrac{\Gamma\braceNT{2}}{\Gamma\braceNT{2{,}5}} \approx 1{,}063846 \)

und die erwartungstreue Schätzung für die Standardabweichung ist damit näherungsweise 1,064.

Korrekturfaktoren für die erwartungstreue Schätzung der Standardabweichung

Stichprobenumfang Korrekturfaktor
2 1,253314
5 1,063846
10 1,028109
15 1,018002

Faustformel

Zur schnellen Schätzung von \(\displaystyle \sigma\) sucht man jenes Sechstel der Werte, die am kleinsten beziehungsweise am größten sind. Die Standardabweichung ist dann die halbe Differenz der beiden Grenzwerte.

Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott geschaffen, alles andere ist Menschenwerk.

Leopold Kronecker

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