Inhalt

- Grundlagen der Mathematik

- Diskrete Mathematik

- Algebra

- Lineare Algebra

- Geometrie

- Analysis

- Differentialgleichungen

   - Gewöhnliche

    Differentialgleichungen

       Anfangswertprobleme

       Ordnungsreduktion

      - DGL Erster Ordnung

      - Spezielle Lösungsmethoden

          Kettenlinie

         - Potenzreihenmethode

          Sukzessive Approximation

      - Lineare

       Differentialgleichungen

      - Satz von Picard-Lindelöf

    Partielle

    Differentialgleichungen

- Funktionalanalysis

- Differentialgeometrie

- Topologie

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Spezielle Lösungsmethoden und Beispiele

Zurückführung von DGL zweiter Ordnung auf DGL erster Ordnung

Enthält eine DGL zweiter Ordnung neben der Variablen x nur die ersten und zweiten Ableitungen y' und y'', so kann sie mittels der Substitution z = y' auf eine DGL erster Ordnung zurückgeführt werden. (z.B. Kettenlinie)

Enthält eine DGL zweiter Ordnung nur y, y' und y'' aber kein x, so kann die Substitution z = y' benutzt werden. Es wird statt z' aber betrachtet. Man setzt in der DGL dann . Nach Anwendung der Substitution erhält man eine DGL erster Ordnung mit y,z und .

Beispiel

yy'' = 1 + y'² 1 + z² = C²₂ y² y'² = C²₂ y² -1 (Beispiel 167H) arccosh(C₂ y) = C₂ x + D₂ C₂ y = cosh(C₂ x + D₂ )

Mittels einer Probe überzeugt man sich schnell, dass der Hyperbelkosinus die Ausgangsdifferentialgleichung erfüllt. Die Lösung ist eine Kettenlinie.

Das entscheidende Kriterium ist Schönheit; für häßliche Mathematik ist auf dieser Welt kein beständiger Platz.

Godfrey Harold Hardy

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