Inhalt

Grundlagen der Mathematik

Diskrete Mathematik

Algebra

Gleichungen

Gruppen

Halbgruppen und Monoide

Beispiele

Gruppentafel

Kommutative Gruppen

Untergruppen

Homomorphismus

Spezielle Gruppen

Zyklische Gruppen

Diedergruppen

Symmetrische Gruppe

Quaternionengruppe

Isomorphietypen

Ringe und Körper

Algebren

Polynome

Differentialgleichungen

Funktionalanalysis

Differentialgeometrie

Anbieterkennzeichnung

Weiterbildung für alle! Über 200 Fernlehrgänge an Deutschlands größter Fernschule!

Spezielle Gruppen

Bei einer Gruppe in multiplikativer Schreibweise definieren wir für ein induktiv Potenzen für alle natürlichen Zahlen :

g⁰ = e

Dabei sei e das neutrale Element der Gruppe.

Diese Definition lehnt sich an die Potenzschreibweise beim Rechnen mit natürlichen Zahlen an.

Wir erhalten sofort: .

Mittels dieser Definition können wir dann die gewöhnlichen Potenzgesetze formulieren: . Den Beweis dieser gesetzte führt man leicht vermittels vollständiger Induktion über die Exponenten unter Ausnutzung der Assoziativität.

Wenn wir jetzt noch festsetzen, dass g^{- m} := (g^{m)^-1} , wie wir es vom Zahlenrechnen kennen, brauchen wir nur noch nachweisen, dass (g^{- m)^-1} = (g^{-1)^m} und wir können die Potenzgesetze auf den Bereich der ganzzahligen Exponenten erweitern. Den Beweise führt man wieder vermittels vollständiger Induktion.

Das kleinste für dass aⁿ = 1 gilt, heißt Ordnung des Elements a und wird mit ord(a) bezeichnet.

Das ist ein Mittel, das Paradies nicht zu verfehlen: auf der einen Seite einen Mathematiker, auf der anderen einen Jesuiten; mit dieser Begleitung muß man seinen Weg machen, oder man macht ihn niemals.

Friedrich der Große

Druckansicht

Impressum: Wurzelzieher Mathepedia • Thomas Steinfeld • Dorfplatz 25 • 17237 Blankensee • Tel.: 01734332309 (Vodafone/D2) • Email: matһе@wυrzеlzιeher.de

Amazon.de empfiehlt: