Inhalt

- Grundlagen der Mathematik

- Diskrete Mathematik

- Algebra

- Lineare Algebra

- Geometrie

- Analysis

- Differentialgleichungen

- Funktionalanalysis

   - Normierte Räume

    Funktional

   - Lineare Operatoren

       Fréchet-Ableitung

       Adjungierter Operator

      - Spektrum

          Spektralradius

   - Banach-Raum

    Neumann-Reihe

- Differentialgeometrie

- Topologie

- Numerik

- Stochastik

- Unsortiertes

- Anbieterkennzeichnung

Spektralradius

Der Spektralradius ist ein Konzept in der linearen Algebra und in der Funktionalanalysis. Der Name erklärt sich dadurch, dass das Spektrum eines Operators in einer Kreisscheibe enthalten ist, deren Radius der Spektralradius ist.

Spektralradius von Matrizen

Der Spektralradius einer -Matrix ist der Betrag des betragsmäßig größten Eigenwerts von A, das heißt

.

Dabei durchläuft die höchstens n verschiedenen Eigenwerte von A.

Jede induzierte Matrixnorm von A ist mindestens so groß wie der Spektralradius. Ist nämlich ein Eigenwert zu einem Eigenvektor v von A, dann gilt

.

Genauer gibt es zu jedem eine von A abhängige Matrixnorm, so dass

gilt. Ferner gilt für jede induzierte Matrixnorm

.

Anwendungen

Der Spektralradius ist beispielsweise bei Splitting-Verfahren von Bedeutung. Falls , dann konvergiert die Iteration

x_{k + 1} = B^-1 (B - A)x_k + B^-1 b

für jeden Startvektor x₀ gegen die exakte Lösung x^* des linearen Gleichungssystems Ax = b.

Spektralradius in der Funktionalanalysis

Der Begriff des Spektralradius kann allgemeiner auch für beschränkte lineare Operatoren auf Banachräumen definiert werden. Für einen beschränkten linearen Operator A definiert man

,

wobei das Spektrum von A ist. Man kann zeigen, dass das Supremum angenommen wird, also ein Maximum vorliegt. Man kann auch hier zeigen, dass

gilt.

Hochtechnologie ist im wesentlichen mathematische Technologie.

Enquete-Kommission der Amerikanischen Akademie der Wissenschaften

Druckansicht     

Amazon.de empfiehlt:

Funktionalanalysis (Springer-Lehrbuch)

Dirk Werner

Funktionalanalysis: Theorie und Anwendung. Lehrbuch

Harro Heuser

Einführung in die Funktionalanalysis

Winfried Scharlau

Lineare Funktionalanalysis: Eine anwendungsorientierte Einfü...

Hans Wilhelm Alt

Topologie und Funktionalanalysis: Grundlagen der Abstrakten ...

Jürgen Heine

Funktionalanalysis im Hinblick auf Anwendung in der Physik

Siegfried Großmann

Bücher zum Thema Funktionalanalysis auf
• bol.de
• buch.de
• buecher.de
• libri.de