Sinussatz

Satz 5330M (Sinussatz)

In einem beliebigen Dreieck gilt:

\(\displaystyle \dfrac {\sin\alpha}a \, =\, \dfrac {\sin\beta}b \, =\, \dfrac {\sin\gamma}c\)

Beweis

Die Herleitung des Sinussatzes beruht auf der Definition des Sinus, wobei die dafür notwendigen rechtwinkligen Dreiecke durch Einzeichnen der Höhen erzeugt werden.

Wir zeichnen die Höhe von \(\displaystyle C\) auf Seite \(\displaystyle c\) und wenden die Definition des Sinus an.

Danach gilt einerseits: \(\displaystyle \sin\alpha=\dfrac h b\) und andererseits: \(\displaystyle \sin\beta=\dfrac h a\). Nach \(\displaystyle h\) umgestellt: \(\displaystyle h=b\cdot \sin\alpha\) und \(\displaystyle h=a\cdot \sin\beta\), also: \(\displaystyle b\cdot \sin\alpha=a\cdot \sin\beta\).

Und wir erhalten: \(\displaystyle \dfrac {\sin\alpha}a = \dfrac {\sin\beta}b\).

Unter Benutzung der gleichen Schlussweise bei einer weiteren Höhe erhalten wir die vollständige Behauptung.

Beim Beweis waren wir bisher von einem spitzwinkligen Dreieck ausgegangen. Im rechtwinkligen Dreieck fallen Höhe und Dreiecksseite zusammen und \(\displaystyle \sin 90°=1\), sodass der Satz trivial gilt.

Im stumpfwinkligen Dreieck (siehe Grafik) ergibt sich \(\displaystyle \sin\alpha=\dfrac h b\) und \(\displaystyle \sin(\pi-\beta)=\dfrac h a\). Da nach Satz 5220A \(\displaystyle \sin(\pi-\beta)=\sin\beta\) ergibt sich die Behauptung wie im ersten Teil des Beweises. \(\displaystyle \qed\)

 
 

Bemerkungen

Bezeichnen wir mit \(\displaystyle r\) den Radius des Umkreises, so gilt nach Satz 5515F

\(\displaystyle 2r=\dfrac{a}{\sin\alpha}=\dfrac{b}{\sin\beta}=\dfrac{c}{\sin\gamma}\)

An Archimedes wird man sich erinnern, wenn Aischylos vergessen ist - weil zwar die Sprachen sterben, nicht aber die mathematischen Ideen.

Godfrey Harold Hardy

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Das Dreieck