Sinus und Kosinus

Graphen der Sinusfunktion (grün) und der Kosinusfunktion (blau). Beide Funktionen sind 2 \pi -periodisch und nehmen Werte von -1 bis 1 an.

Graphen der Sinusfunktion (grün) und der Kosinusfunktion (blau). Beide Funktionen sind \(\displaystyle 2 \pi \)-periodisch und nehmen Werte von \(\displaystyle -1\) bis \(\displaystyle 1\) an.

Die Sinus- und Kosinusfunktion (auch Cosinusfunktion) sind trigonometrische Funktionen. Sie werden unter anderem in der Geometrie für Dreiecksberechnungen und in der Analysis benötigt.

Geometrische Definition

Definition am rechtwinkligen Dreieck

Die Längenverhältnisse der drei Seiten im rechtwinkligen Dreieck sind nur abhängig vom Maß der beiden spitzen Winkel. Da aber das Maß eines dieser Winkel das Maß des anderen Winkels bereits festlegt (die Winkelsumme der beiden spitzen Winkel im rechtwinkligen Dreieck beträgt stets \(\displaystyle 90°\)), hängen die Längenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck nur vom Maß eines der beiden spitzen Winkel ab.

 
 

Abb. FO99: Dreieck mit einem rechten Winkel in C. (Benennung von An- und Gegenkathete unter der Annahme, dass \alpha der betrachtete Winkel ist.)

Abb. FO99: Dreieck mit einem rechten Winkel in \(\displaystyle C\). (Benennung von An- und Gegenkathete unter der Annahme, dass \(\displaystyle \alpha\) der betrachtete Winkel ist.)

Der Sinus eines Winkels ist das Verhältnis der Länge der Gegenkathete (Kathete, die dem Winkel gegenüberliegt) zur Länge der Hypotenuse (Seite gegenüber dem rechten Winkel).

\(\displaystyle \text{Sinus eines Winkels}\) \(\displaystyle = \frac{\text{Gegenkathete des Winkels}}{\text{Hypotenuse}}\)

Der Kosinus ist das Verhältnis der Länge der Ankathete (das ist jene Kathete, die einen Schenkel des Winkels bildet) zur Länge der Hypotenuse.

\(\displaystyle \text{Kosinus eines Winkels} \)\(\displaystyle = \frac{\text{Ankathete des Winkels}}{\text{Hypotenuse}}\)

Bei den für Dreiecke üblichen Bezeichnungen der Größen (siehe Abb. FO99) gilt hier:

\(\displaystyle \sin (\alpha) = \frac{a}{c} \quad\) und \(\displaystyle \quad \cos (\alpha) = \frac{b}{c}\).

Da die Hypotenuse die längste Seite eines Dreiecks bezeichnet, gelten die Ungleichungen \(\displaystyle \sin\left(\alpha\right)\leq 1\) und \(\displaystyle \cos\left(\alpha\right)\leq 1\).

Wird statt von \(\displaystyle \alpha\) von dem gegenüberliegenden Winkel \(\displaystyle \beta\) ausgegangen, so wechseln beide Katheten ihre Rolle, die Ankathete von \(\displaystyle \alpha\) wird zur Gegenkathete von \(\displaystyle \beta\) und die Gegenkathete von \(\displaystyle \alpha\) bildet nun die Ankathete von \(\displaystyle \beta\) und es gilt

\(\displaystyle \sin (\beta) = \frac{b}{c}\quad\) und \(\displaystyle \quad \cos (\beta) = \frac{a}{c}\)

Da im rechtwinkligen Dreieck \(\displaystyle \alpha + \beta = 90^\circ\) gilt, folgt

\(\displaystyle \cos (\alpha) = \sin(90^\circ - \alpha) = \sin(\beta)\)

und

\(\displaystyle \sin (\alpha) = \cos(90^\circ - \alpha) = \cos(\beta)\).

Aus dem Satz des Pythagoras lässt sich die Beziehung ("trigonometrischer Pythagoras") ableiten:

Satz 5220B

\(\displaystyle \sin^2 \left(\alpha\right) + \cos^2 \left(\alpha\right) = 1\).

Definition am Einheitskreis

Definition am Einheitskreis.

Definition am Einheitskreis.

Im rechtwinkligen Dreieck ist der Winkel zwischen Hypotenuse und Kathete nur für Werte von \(\displaystyle 0\) bis \(\displaystyle 90\) Grad definiert. Für eine allgemeine Definition wird ein Punkt \(\displaystyle P\) mit den Koordinaten \(\displaystyle (x,y)\) auf dem Einheitskreis betrachtet, hier gilt \(\displaystyle x^2+y^2=1\). Der Ortsvektor von \(\displaystyle P\) schließt mit der \(\displaystyle x\)-Achse einen Winkel \(\displaystyle \alpha\) ein. Der Koordinatenursprung \(\displaystyle (0,0)\), der Punkt \(\displaystyle (x,0)\) auf der \(\displaystyle x\)-Achse und der Punkt \(\displaystyle P(x,y)\) bilden ein rechtwinkliges Dreieck. Die Länge der Hypotenuse beträgt \(\displaystyle \sqrt{x^2+y^2}=1\). Die Ankathete des Winkels \(\displaystyle \alpha\) bezeichnet die Strecke zwischen \(\displaystyle (0,0)\) und \(\displaystyle (x,0)\) und hat die Länge \(\displaystyle x\), es gilt also \(\displaystyle \cos(\alpha)=x\).

Die Gegenkathete des Winkels \(\displaystyle \alpha\) ist die Strecke zwischen \(\displaystyle (x,0)\) und \(\displaystyle (x,y)\) und hat die Länge \(\displaystyle y\), es gilt also \(\displaystyle \sin(\alpha)=y\).

Diese Definition lässt sich auf andere Quadranten fortsetzen: Die \(\displaystyle y\)-Koordinate eines Punktes des Einheitskreises entspricht also dem Sinus des Winkels zwischen seinem Ortsvektor und der \(\displaystyle x\)-Achse, während die \(\displaystyle x\)-Koordinate dem Kosinus des Winkels entspricht.

Analytische Definition

Definition durch Taylorreihen

Durch den Übergang vom Winkelmaß zum Bogenmaß können Sinus und Cosinus als Funktionen von \(\displaystyle \R\) nach \(\displaystyle \R\) erklärt werden. Die Taylorreihen stellen der Funktionen \(\displaystyle \sin(x)\) und \(\displaystyle \cos(x)\) sind:

\(\displaystyle \sin (x) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} = \frac{x}{1!}-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}\mp\dotsb\)
\(\displaystyle \cos (x) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!} = \frac{x^0}{0!}-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}\mp\dotsb\)

Definition als Lösung einer Funktionalgleichung

Ein anderer analytischer Zugang ist, Sinus und Kosinus als Lösung einer Funktionalgleichung zu definieren, die im Wesentlichen aus den Additionstheoremen besteht: Gesucht ist ein Paar stetiger Funktionen \(\displaystyle \sin, \cos\colon\R\to\R\), das für alle \(\displaystyle x,y\in\R\) die Gleichungen

\(\displaystyle \sin(x+y)=\sin(x)\cos(y)+\cos(x)\sin(y)\!\)

und

\(\displaystyle \cos(x+y)=\cos(x)\cos(y)-\sin(x)\sin(y)\!\)

erfüllt. Die Lösung \(\displaystyle \sin \) definiert dann den Sinus, die Lösung \(\displaystyle \cos \) den Kosinus. Um Eindeutigkeit zu erreichen, sind einige Zusatzbedingungen zu erfüllen: \(\displaystyle \sin(x)\!\) ist eine ungerade Funktion, \(\displaystyle \cos(x)\!\) eine gerade Funktion, \(\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x}=1\) und \(\displaystyle \cos(0)=1\!\).

Produktentwicklung

\(\displaystyle \sin(x) = x \prod_{k=1}^\infty \left( 1 - \frac{x^2}{k^2\pi^2} \right) \)
\(\displaystyle \cos(x) = \prod_{k=1}^\infty \left( 1 - \frac{4x^2}{(2k-1)^2\pi^2} \right) \)

\(\displaystyle x\;\) ist dabei im Bogenmaß anzugeben.

Wertebereich und spezielle Funktionswerte

Zusammenhang zwischen Sinus und Kosinus

\(\displaystyle \sin(\alpha)=-\cos\left(\alpha + 90^\circ \right)=\cos\left(\alpha-90^\circ\right)\) (Gradmaß)
\(\displaystyle \sin(\alpha)=-\cos\left(\alpha + \pi/2 \right)=\cos\left(\alpha - \pi/2\right)\) (Bogenmaß)

Insbesondere folgt daraus \(\displaystyle |{\sin\alpha}|\leq 1\) und \(\displaystyle |{\cos\alpha}|\leq 1\).

Wichtige Funktionswerte

Da Sinus und Kosinus periodische Funktionen mit der Periode \(\displaystyle 2 \pi\) (entspricht im Gradmaß \(\displaystyle 360^\circ\)) sind, reicht es, die Funktionswerte der beiden trigonometrischen Funktionen für den Bereich \(\displaystyle [0,2\pi]\) (entspricht dem Bereich \(\displaystyle 0^\circ\) bis \(\displaystyle 360^\circ\)) zu kennen. Funktionswerte außerhalb dieses Bereichs können also aufgrund der Periodizität durch den Zusammenhang

\(\displaystyle \sin(x) = \sin(x + 2k \pi)\quad \text{und}\quad \cos(x) = \cos(x + 2k \pi)\)

bestimmt werden. In Gradmaß lautet der Zusammenhang analog

\(\displaystyle \sin(x) = \sin(x + k \cdot 360^\circ)\quad \text{und}\quad \cos(x) = \cos(x + k \cdot 360^\circ)\,.\)

Hierbei bezeichnet \(\displaystyle k \in \Z\) eine ganze Zahl. Die folgende Tabelle listet die wichtigsten Funktionswerte der beiden trigonometrischen Funktionen auf. Weitere Funktionswerte können auf einer im Abschnitt Weblinks aufgeführten Seite gefunden werden.

Winkel \(\displaystyle \alpha\) (Grad) \(\displaystyle 0^\circ\) \(\displaystyle 30^\circ\) \(\displaystyle 45^\circ\) \(\displaystyle 60^\circ\) \(\displaystyle 90^\circ\) \(\displaystyle 180^\circ\) \(\displaystyle 270^\circ\) \(\displaystyle 360^\circ\)
Bogenmaß \(\displaystyle 0\) \(\displaystyle \frac{\pi}{6}\) \(\displaystyle \frac{\pi}{4}\) \(\displaystyle \frac{\pi}{3}\) \(\displaystyle \frac{\pi}{2}\) \(\displaystyle \pi\) \(\displaystyle \frac{3\pi}{2}\) \(\displaystyle 2\pi\)
Sinus \(\displaystyle 0\) \(\displaystyle \frac12\) \(\displaystyle \frac12\sqrt2\) \(\displaystyle \frac12\sqrt3\) \(\displaystyle 1\) \(\displaystyle 0\) \(\displaystyle -1\) \(\displaystyle 0\)
Kosinus \(\displaystyle 1\) \(\displaystyle \frac12\sqrt3\) \(\displaystyle \frac12\sqrt2\) \(\displaystyle \frac12\) \(\displaystyle 0\) \(\displaystyle -1\) \(\displaystyle 0\) \(\displaystyle 1\)

Zur Herleitung siehe Tabelle 7CGF.

Weitere mit Quadratwurzeln angebbare Funktionswerte

Über die Berechnung der fünften Einheitswurzeln mittels einer quadratischen Gleichung ergibt sich

\(\displaystyle \sin(18^\circ)=\cos(72^\circ)=\frac{\sqrt{5}-1}{4}\).

Mit Hilfe der Additionstheoreme lassen sich viele weitere solche Ausdrücke berechnen wie beispielsweise die Seitenlänge eines regulären Fünfecks über

\(\displaystyle \cos(54^\circ)=\sin(2\cdot18^\circ)=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{2}}\)

und \(\displaystyle \sin(15^\circ)\), woraus folgt

\(\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}=\cos(30^\circ)=\cos^2(15^\circ)-\sin^2(15^\circ)=1-2\sin^2(15^\circ)\).

Aus \(\displaystyle \sin(18^\circ)\) und \(\displaystyle \sin(15^\circ)\) lassen sich dann z. B. \(\displaystyle \sin(3^\circ)\) und dann rekursiv auch alle \(\displaystyle \sin(k \cdot 3^\circ)\), \(\displaystyle k\in\Z\;\) ermitteln.

Generell gilt, dass \(\displaystyle \sin\alpha\;\) und \(\displaystyle \cos\alpha\;\) genau dann explizit mit den vier Grundrechenarten und Quadratwurzeln darstellbar sind, wenn der Winkel \(\displaystyle \alpha\;\) mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist, insbesondere also wenn \(\displaystyle \alpha\;\) von der Gestalt

\(\displaystyle \alpha=k\frac{360^\circ}{2^np_1\dots p_r}\)

ist, wobei \(\displaystyle k\in\Z\;\), \(\displaystyle n\in\N_0\;\) und die \(\displaystyle p_i\;\) für \(\displaystyle i=1,\dots,r\;\) Fermatsche Primzahlen sind.In obigem Beispiel von \(\displaystyle \alpha=3^\circ\) ist \(\displaystyle k=1\;\) und der Nenner gleich \(\displaystyle 120=2^3\cdot 3\cdot 5.\)

Umkehrfunktion

Die Umkehrfunktionen

\(\displaystyle \begin{align} \arcsin\colon [-1,1] &\to [-90^\circ, 90^\circ] \\ \arccos\colon [-1,1] &\to [0^\circ, 180^\circ] \end{align}\)

werden Arkussinus bzw. Arkuskosinus genannt.

Ableitung und Integration von Sinus und Kosinus

Ableitung

Wird \(\displaystyle x\;\) im Bogenmaß angegeben, so gilt für die Ableitung der Sinusfunktion

\(\displaystyle \sin^\prime(x) = \cos(x)\)

Aus \(\displaystyle \cos(x)=\sin\left(\tfrac{\pi}{2}-x\right)\) und der Kettenregel erhält man die Ableitung des Kosinus:

\(\displaystyle \cos^\prime(x) = -\sin(x)\).

Stammfunktion

Aus den Ergebnissen über die Ableitung ergibt sich unmittelbar die Stammfunktion von Sinus und Kosinus im Bogenmaß:

\(\displaystyle \int\sin(x)\,\mathrm{d}x=-\cos(x)+C\)
\(\displaystyle \int\cos(x)\,\mathrm{d}x=\sin(x)+C\)

An Archimedes wird man sich erinnern, wenn Aischylos vergessen ist - weil zwar die Sprachen sterben, nicht aber die mathematischen Ideen.

Godfrey Harold Hardy

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