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Seitenhalbierende

Die Seitenhalbierenden eines Dreiecks sind die Verbindungsstrecken zwischen jeweils einem Eckpunkt und dem Mittelpunkt der diesem gegenüberliegenden Seite.

Satz 5521A (Schnittpunkt der Seitenhalbierenden)

Die Seitenhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt, dem Schwerpunkt S. Dieser teilt die Seitenhalbierenden im Verhältnis 2:1 vom Eckpunkt aus gesehen.

Beweis

Es gilt offensichtlich

.

,

womit der erste Teil der Behauptung gezeigt ist.

Analoge Überlegungen kann man auch für zwei weitere Seitenhalbierende anstellen. Damit müssen sich dann aber alle drei Seitenhalbierenden in einem Punkt schneiden, denn es kann nur einen Punkt geben, der die Strecke BE im Verhältnis 2 : 1 teilt.

Um zu zeigen, dass S der Schwerpunkt ist, zeigen wir, dass jede Seitenhalbierende das Dreieck in zwei flächengleiche Teildreiecke zerlegt, damit muss aber der Schnittpunkt zweier Seitenhalbierender der Schwerpunkt des Dreiecks sein.

Mit der Formel 5518B ergibt sich für deren Flächeninhalt A₁ des Dreiecks

Diese Ausdrücke sind aber wegen gleich.

Satz A7RB

Die Seitenmittelpunkte bilden mit den einzelnen Eckpunkten ein Parallelogramm.

Beweis

Da Punkt D die Seite BC halbiert und E die Seite AC sind nach der Umkehrung der Strahlensätze die Strecken AB und ED parallel. Ebenso kann man AC||DF schließen und das Viereck AFDE ist somit ein Parallelogramm.

Formel 5522A (Länge der Seitenhalbierenden)

Für die Länge der Seitenhalbierenden s_a der Seite a gilt.

Analoge Formeln lassen sich für die anderen Seitenhalbierenden aufstellen, indem man die Seiten zyklisch vertrauscht.

Herleitung

Mit dem Kosinussatz gilt im Dreieck :

(1)

,

und im Dreieck gilt:

(2)

.

Letztere Gleichung ist aber äquivalent zu

(3)

.

Setzen wir diese Gleichung nun in (1) ein, erhalten wir

,

woraus sich nach dem Wurzelziehen die Behauptung ergibt.

Wir Mathematiker sind die wahren Dichter, nur müssen wir das, was unsere Phantasie schafft, noch beweisen.

Leopold Kronecker

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