Der Existenz- und Eindeutigkeitssatz von Picard-Lindelöf

Vorbemerkungen

Man betrachtet das Differentialgleichungssystem \(\displaystyle y'=f(x,y)\) mit \(\displaystyle y=\begin{pmatrix}y_1\\\vdots\\y_n \end{pmatrix}\) und \(\displaystyle f=\begin{pmatrix}f_1\\\vdots\\f_n \end{pmatrix}\).

In Komponenten:

\(\displaystyle \begin{matrix} y_1'&= f_1(x,y_1,\dots,y_n)\\ &\vdots \\ y_n'&= f_n(x,y_1,\dots,y_n) \end{matrix}\)

Definition Lipschitzbedingung

Sei \(\displaystyle G\subset\R\times\R^n\), \(\displaystyle f:G\rightarrow\R^n\) stetig.

\(\displaystyle f\) genügt in \(\displaystyle G\) (bezüglich \(\displaystyle y\)) einer Lipschitzbedingung

\(\displaystyle :\iff\exists L\geq 0 \, \forall(x,y),(x,\tilde{y})\in G: ||f(x,y)-f(x,\tilde{y})||\leq L||y-\tilde{y}||\).

\(\displaystyle f\) genügt in \(\displaystyle G\) lokal einer Lipschitzbedingung

\(\displaystyle :\iff\forall (a,b)\in G\) existiert eine Umgebung \(\displaystyle U(a,b)\) und \(\displaystyle f\) genügt in \(\displaystyle G\cap U\) einer Lipschitzbedingung

 
 

Satz 16LL (Satz von Picard-Lindelöf)

Sei \(\displaystyle G\subset\R\times\R^n\) offen und \(\displaystyle f:G\rightarrow\R^n\) eine stetige Funktion, die lokal einer Lipschitzbedingung genügt. Dann existiert für alle \(\displaystyle (a,c) \in G\) ein \(\displaystyle \varepsilon>0\), sodass \(\displaystyle \varphi: [a-\varepsilon,a+\varepsilon]\rightarrow\R^n\) die eindeutige Lösung des Anfangswertproblems \(\displaystyle y'=f(x,y)\) mit \(\displaystyle \varphi(a)=c\) ist..

Beweis

Beweisidee

Wir konstruieren einen vollständigen metrischen Raum stetiger Funktionen mit einer kontrahierenden Abbildung. Dann können wir den Banachschen Fixpunktsatz anwenden. Der Fixpunkt ist aber gerade die einzige Lösung des Differentialgleichungssystems.

Im Einzelnen:

1. Schritt: Raum der stetigen Funktionen

Sei \(\displaystyle I\) ein abgeschlossenes Intervall. \(\displaystyle \mathcal{C}(I,\R^n):=\{\varphi:I\rightarrow\R^n:\varphi\) stetig \(\displaystyle \}\), \(\displaystyle ||\varphi||:=\sup_{x\in I}||\varphi(x)||_2\). Der Raum \(\displaystyle (\mathcal{C}(I,\R^n), ||\cdot||)\) ist nach Satz 16K8 ein vollständiger normierter Raum (also Banachraum).

Sei \(\displaystyle I_\varepsilon :=[a-\varepsilon,a+\varepsilon]\) für \(\displaystyle \varepsilon>0\). Wir wählen \(\displaystyle \varepsilon,r>0\) so, dass \(\displaystyle U=\{(x,y)\in I_\varepsilon\times\R^n: ||y-c||_2\leq r\} \subset G\) und \(\displaystyle f\) auf \(\displaystyle U\) einer Lipschitzbedingung genügt, d.h. \(\displaystyle \exists L\geq 0 \, \forall (x,y),(x,\tilde{y})\in U:||f(x,y)-f(x, \tilde{y})||_2\leq ||y-\tilde{y}||_2\). \(\displaystyle U\) ist kompakt (Satz 165L) und \(\displaystyle f\) stetig auf \(\displaystyle U\).

Wir setzen \(\displaystyle U_r^\varepsilon(c):=\{\varphi\in\mathcal{C}( I_\varepsilon,\R^n):||\varphi-c||\leq r\}\) (ist i.a. nicht kompakt). \(\displaystyle U_r^\varepsilon\) ist als abgeschlossene Kugel in \(\displaystyle \mathcal{C}(I_\varepsilon, \R^n)\) nach Satz 5608G ein vollständiger metrischer Raum mit der Metrik \(\displaystyle (d( \varphi,\psi)=||\varphi-\psi||)\).

2.Schritt: Kontrahierende Abbildung

Wir definieren die Abbildung \(\displaystyle T:U_r^\varepsilon(c)\rightarrow\mathcal{C}(I_\varepsilon,\R^n)\) als

\(\displaystyle (T\varphi)(x):=c+\int\limits_a^x f(t,\varphi(t))dt\).

Es gilt für alle \(\displaystyle x\in I_\varepsilon \) die Abschätzung \(\displaystyle ||(T\varphi)(x)-c||_2\)\(\displaystyle = \left|\left|\int\limits_a^x f(t,\varphi(t))dt\right|\right|_2\) \(\displaystyle \leq \left|\int\limits_a^x ||f(t,\varphi(t))||_2dt\right|\)

\(\displaystyle \leq |x-a|M\)\(\displaystyle \leq \varepsilon M\)     (Satz 15VJ)

Hieraus folgt:

\(\displaystyle \forall \varphi\in U_r^\varepsilon(c):\;||T\varphi- c||\)\(\displaystyle =\sup_{x\in I_\varepsilon}||(T\varphi)(x)-c||_2\leq \varepsilon M\)

\(\displaystyle ||(T\varphi)(x)-(T\tilde{\varphi})(x)||_2\)\(\displaystyle = \left|\left|\int\limits_a^x (f(t,\varphi(t))-f(t,\tilde{\varphi}(t)))dt\right|\right|_2\) \(\displaystyle \leq \left|\int\limits_a^x \underbrace{||f(t,\varphi(t))-f(t,\tilde{\varphi}(t)))||_2}_{L||\varphi-\tilde{\varphi}||} dt\right|\)\(\displaystyle \leq L|x-a|\cdot ||\varphi-\tilde{\varphi}||\) \(\displaystyle \leq \varepsilon L ||\varphi-\tilde{\varphi}||\) für \(\displaystyle x\in I_\varepsilon \)

\(\displaystyle \Rightarrow{\forall \varphi,\tilde{\varphi}\in U_r^\varepsilon(c):||T\varphi-T\tilde{\varphi}|| \leq\varepsilon L ||\varphi-\tilde{\varphi}||}\)

Man wählt \(\displaystyle \varepsilon>0\) so, dass \(\displaystyle \varepsilon\leq \min\ntxbraceK{ \dfrac{r}{M},\dfrac{1}{2L}}\). Dann gilt:

  1. \(\displaystyle T(U_r^\varepsilon(c))\subset U_r^\varepsilon(c)\)
  2. \(\displaystyle \forall \varphi,\tilde{\varphi}\in U_r^\varepsilon(c): ||T\varphi-T\tilde{\varphi}||\leq \dfrac{1}{2}||\varphi-\tilde{\varphi}||\)

Damit ist gezeigt, dass \(\displaystyle T\) eine Kontraktion ist.

3. Schritt: Anwendung des Banachschen Fixpunktsatzes

Man setzt \(\displaystyle X:=U_r^\varepsilon(c)\) (ist nach 1. Schritt vollständiger metrischer Raum) und \(\displaystyle T:X\rightarrow X\) ist nach dem 2. Schritt kontrahierend. Nach dem Banachschen Fixpunktsatz existiert genau ein \(\displaystyle \varphi\in X=U_r^\varepsilon(c)\): \(\displaystyle T\varphi=\varphi\).

Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung impliziert \(\displaystyle \varphi'(x)=\)\(\displaystyle \dfrac d {dx} (T\phi) (x)\) \(\displaystyle =\dfrac d {dx}\left( c+\int\limits_a^x f(t,\varphi(t))dt\right)\) \(\displaystyle =f(x,\varphi(x))\) und \(\displaystyle \varphi(a)=c\). \(\displaystyle \qed\)

Es gibt jedoch noch einen anderen Grund für die hohe Wertschätzung der Mathematik; sie allein bietet den Naturwissenschaften ein gewisses Maß an Sicherheit, das ohne Mathematik nicht erreichbar wäre.

Albert Einstein

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