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Der Existenz- und Eindeutigkeitssatz von Picard-Lindelöf

Vorbemerkungen

Man betrachtet das Differentialgleichungssystem y' = f(x, y) mit und .

In Komponenten:

Definition Lipschitzbedingung

Sei , stetig.

f genügt in G (bezüglich y) einer Lipschitzbedingung

.

f genügt in G lokal einer Lipschitzbedingung

existiert eine Umgebung U(a, b) und f genügt in einer Lipschitzbedingung

Satz 16LL (Satz von Picard-Lindelöf)

Sei offen und eine stetige Funktion, die lokal einer Lipschitzbedingung genügt. Dann existiert für alle ein , sodass die eindeutige Lösung des Anfangswertproblems y' = f(x, y) mit ist..

Beweis

Beweisidee

Wir konstruieren einen vollständigen metrischen Raum stetiger Funktionen mit einer kontrahierenden Abbildung. Dann können wir den Banachschen Fixpunktsatz anwenden. Der Fixpunkt ist aber gerade die einzige Lösung des Differentialgleichungssystems.

Im Einzelnen:

1. Schritt: Raum der stetigen Funktionen

Sei I ein abgeschlossenes Intervall. stetig }, . Der Raum ist nach Satz 16K8 ein vollständiger normierter Raum (also Banachraum).

Sei für . Wir wählen so, dass und f auf U einer Lipschitzbedingung genügt, d.h. . U ist kompakt (Satz 165L) und f stetig auf U.

Wir setzen (ist i.a. nicht kompakt). ist als abgeschlossene Kugel in nach Satz 5608G ein vollständiger metrischer Raum mit der Metrik .

2.Schritt: Kontrahierende Abbildung

Wir definieren die Abbildung als

.

Es gilt für alle die Abschätzung

    (Satz 15VJ)

Hieraus folgt:

für

Man wählt so, dass . Dann gilt:

Damit ist gezeigt, dass T eine Kontraktion ist.

3. Schritt: Anwendung des Banachschen Fixpunktsatzes

Man setzt (ist nach 1. Schritt vollständiger metrischer Raum) und ist nach dem 2. Schritt kontrahierend. Nach dem Banachschen Fixpunktsatz existiert genau ein : .

Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung impliziert und .

Die Mathematik muß man schon deswegen studieren, weil sie die Gedanken ordnet.

M. W. Lomonossow

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