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Das Rechteck

Ein Viereck mit vier rechten Innenwinkeln heißt Rechteck. (Es genügt drei rechte Innenwinkel zu fordern, da der vierte dann wegen der Innenwinkelsumme ebenfalls ein rechter Winkel sein muss)

Satz 16GH

Jedes Rechteck ist ein Parallelogramm.

Ein Parallelogramm ist genau dann ein Rechteck wenn wenigstens eine der folgenden Bedingungen gilt

Ein Innenwinkel ist ein rechter Winkel
Die Diagonalen sind gleich lang

Beweis

Um nachzuweisen, dass jedes Rechteck ein Parallelogramm ist, zeigt man, dass gegenüberliegende Seiten gleich lang sind (Satz 16GF).

Nach Satz des Pythagoras ergibt sich: a² + b² = e² = c² + d² und b² + c² = f² = a² + d² , woraus man die beiden Gleichungen a² - c² = c² - a² und b² - d² = d² - b² ableiten kann, womit a = c und b = d gilt.

Für den Beweis des zweiten Teils sei nun ein Parallelogramm gegeben. Ist ein Innenwinkel rechtwinklig, so müssen trivialerweise auch alle anderen Winkel rechte sein.

In einem Rechteck sind die Diagonalen gleich lang, da es sich nach dem oben Bewiesenen um ein Parallelogramm mit rechten Winkeln handelt. In diesem können wir den Satz des Pythagoras anwenden und erhalten für beide Diagonalen e² = a² + b² = f² , also e = f.

Sind andererseits in einem Parallelogramm die Diagonalen gleich lang, so gilt nach der Parallelogrammgleichung e² = f² = a² + b² und mit der Umkehrung des Satzes des Pythagoras erhalten wir, dass die Innenwinkel rechte Winkel sind, es sich mithin um ein Rechteck handelt.

Die Länge der Diagonalen d ergibt sich aus dem Satz des Pythagoras mit . Beide Diagonalen sind offensichtlich gleich lang.

Flächeninhalt

Umfang

Scherzhafte Beispiele haben manchmal größere Bedeutung als ernste.

Michael Stifel

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