Inhalt

- Grundlagen der Mathematik

- Diskrete Mathematik

- Algebra

- Lineare Algebra

- Geometrie

- Analysis

   - Reelle Zahlen

      - Axiomensystem

      - Zahlenbereiche

          Natürliche Zahlen

          Ganze Zahlen

         - Rationale Zahlen

             Beispiele

             0,9999... =1

             Verteilung

             Kettenbrüche

            - Irrationalitätsbeweise

      - Betrag und Intervalle

      - Ungleichungen

      - Zahlenfolgen

      - Reihen

   - Reelle Funktionen

   - Funktionsfolgen und -reihen

   - Spezielle Funktionen

   - Mehrdimensionale Analysis

   - Funktionentheorie

   - Spezielle Teilgebiete

   - Maß- und Integrationstheorie

    Variationsrechnung

    Nichtstandardanalysis

- Differentialgleichungen

- Funktionalanalysis

- Differentialgeometrie

- Topologie

- Numerik

- Stochastik

- Unsortiertes

- Anbieterkennzeichnung

Rationale Zahlen

Die rationalen Zahlen sind eine Erweiterung der ganzen Zahlen. Es werden Brüche hinzugenommen.

(1)

Die positiven rationalen Zahlen heißen gebrochene Zahlen und werden mit bezeichnet.

Reelle Zahlen, die nicht rational sind heißen irrationale Zahlen.

Die rationalen Zahlen bilden ebenso wie die reellen Zahlen einen angeordneten Körper. Man überzeugt sich schnell, dass die unter (1) definierten Zahlen sowohl den Körperaxiomen als auch den Anordnungsaxiomen genügen.

Lemma 5224E

In jeder -Umgebung um 0 liegt eine gebrochene Zahl der Form für ein gewisses .

Beweis

Wenn gewählt ist, gibt es nach Satz 5221B eine natürliche Zahl n mit , daher gilt

Mit diesem Ergebnis können wir eine erstaunliche Tatsache formulieren:

Satz 5224A

Zwischen zwei reellen Zahlen a und b mit a < b liegt immer wenigstens eine rationale Zahl r mit a < r < b.

Damit liegen zwischen zwei reellen Zahlen auch unendlich viele rationale Zahlen. Man sagt auch, die rationalen Zahlen liegen dicht in den reellen Zahlen.

Beweis

Mit a < b gilt 0 < b - a und nach Lemma 5224E gibt es ein mit

(2)

.

Wir setzen jetzt:

.

Dies ist möglich, da die Menge nach unten beschränkt ist und nach Satz 5729A das Infimum zugleich Minimum ist.

Laut Definition gilt an < m. Wir zeigen jetzt m < bn, womit bewiesen wäre.

Sei , also

(3)

.

Wegen der Minimumeigenschaft von m gilt , also und auch

(4)

.

Addieren wir die Ungleichungen (3) und (4), ergibt sich

Dies steht aber im Widerspruch zu (2), womit die Behauptung gezeigt wäre.

Der zweite Teil des Satzes gilt schon deswegen, weil wir zwischen a und r wieder wenigstens eine rationale Zahl liegt.

Kurioserweise sind auch schon die rationalen Zahlen in sich dicht. Denn jede rationale Zahl ist zugleich reelle Zahl, und damit gilt der obige Satz analog.

Die rationalen Zahlen sind jedoch nicht vollständig, denn die Menge besitzt kein Supremum, da keine rationale Zahl ist.

Man darf nicht das, was uns unwahrscheinlich und unnatürlich erscheint, mit dem verwechseln, was absolut unmöglich ist.

Carl Friedrich Gauß

Druckansicht     

Amazon.de empfiehlt:

Reelle Zahlen: Das klassische Kontinuum und die natürlichen ...

Oliver Deiser

Arbeitshefte Mathematik - Neubearbeitung: Arbeitsheft Mathem...

J. Peter Böhmer

Arbeitshefte Mathematik - Neubearbeitung: Arbeitsheft Mathem...

Arbeitsheft Mathematik, Bd.5, Reelle Zahlen, Potenzen, Quadr...

Arbeitshefte Mathematik 5. Lösungen. Reelle Zahlen, Potenzen...

Peter J. Böhmer

Reelle Zahlen in elementarer Darstellung

Wolfgang Rautenberg

Bücher zum Thema reelle Zahlen auf
• bol.de
• buch.de
• buecher.de
• libri.de