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Lineare Algebra


Rang einer Matrix

Sei wFormel eine Matrix.
Der Spaltenrang von A ist die maximale Anzahl linear unabhängiger Spalten, was der Dimension des durch die Spalten erzeugten Teilraumes von Km entspricht.
Der Zeilenrang von A ist die maximale Anzahl linear unabhängiger Zeilen, was der Dimension des durch die Zeilen erzeugten Teilraumes von Kn entspricht.
Das Unterscheiden zwischen Spaltenrang und Zeilenrang ist rein akademisch, denn in Satz 16BA wird gezeigt, dass es sich dabei immer um die gleiche Zahl handelt. Man spricht daher auch allgemein vom Rang der Matrix A und bezeichnet diesen mit rang A.
Der Rangbegriff ist bei der Aufklärung der Lösungsstruktur linearer Gleichungssysteme von fundamentaler Bedeutung.
Im folgenden verwenden wir rang für den Spaltenrang. Bis zum Beweis der Gleichheit von Spaltenrang und Zeilenrang ist diese Schreibweise unkorrekt. Wir verwenden sie dennoch, um später nicht alle Sätze nochmals für den Zeilenrang formulieren zu müssen. Dabei behalten wir im Hinterkopf, dass wir bis zum Beweis von Satz 16BA alle Aussagen nur für den Spaltenrang gezeigt haben.

Satz 16B8 (Rang als Dimension des Bildraums)

Seien V, W endlich dimensionale Vektorräume und wFormel eine lineare Abbildung; B, C Basen von V und W. Dann gilt für die Darstellungsmatrix von f
wFormel.
Mit wFormel wurde gerade der Rang einer linearen Abbildung definiert. Dieser stimmt also mit dem Rang der Darstellungsmatrix überein. Die Wahl der Basen spielt dabei keine Rolle.

Beweis (nur für Spaltenrang)

Nach Satz 16AT gilt wFormel, wobei kB und kC die Koordinatenabbildungen bezüglich der Basen B und C sind und wFormel die zur Darstellungsmatrix MB, C (f) gehörige Standardabbildung. Da die Koordinatenabbildungen Vektorraumisomorphismen sind, gilt wFormel und nach Bemerkung 16B7 wird wFormel von den Spalten von MB, C (f) erzeugt. wFormel

Satz 16B9 (Zusammenhang von Rang und Invertierbarkeit)

A ist genau dann invertierbar, wenn rang A = n.

Beweis (nur für Spaltenrang)

"wFormel": Wenn A invertierbar ist, so ist nach Satz 16AU die Standardabbildung wFormel für wFormel bijektiv. Also ist wFormel und nach Bemerkung 16B7 wird wFormel von den Spalten von A erzeugt, also wFormel.
"wFormel": Sei rang A = n. Nach Satz 16B5 gibt es invertierbare Matrizen wFormel so dass sich die Einheitsmatrix aus wFormel als E = UAV darstellen lässt. Man setzt B := VU, womit gilt:
BA = VUA = VUAVV-1 = VV-1 = E.
Daher ist B die inverse Matrix zu A und A ist damit invertierbar. wFormel

Bemerkung

Ist eine Matrix A invertierbar, so ermöglicht die Zerlegung E = UAV, sofort die Bestimmung der inversen Matrix von A. Es gilt nämlich A-1 = VU.

Satz 16BA (Äquivalenz von Spaltenrang und Zeilenrang)

Sei wFormel eine Matrix. Dann gilt: Der Zeilenrang und der Spaltenrang von A sind gleich.

Beweis

Nach dem Normalformensatz (Satz 16B5) finden wir für A invertierbare Matrizen U und V, so dass
wFormel
gilt und r dem Spaltenrang von A entspricht, also UAV den gleichen Spaltenrang wie A hat. Es folgt:
Spaltenrang von A = Spaltenrang von UAV
= Spaltenrang von (UAV)t    (da UAV eine symmetrische Matrix ist)
= Spaltenrang von Vt At Ut     (Satz 15XT)
= Spaltenrang von At    (nach dem oben Gesagten und da Vt At Ut die Normalform von At ist)
= Zeilenrang von A     (da das Transponieren Zeilen und Spalten vertauscht) wFormel

Wer die erhabene Weisheit der Mathematik tadelt, nährt sich von Verwirrung.

Leonardo da Vinci

 

 

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