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Lineare Algebra


Rang einer Matrix

Sei \(\displaystyle A\in\Mat(m\cross n,K)\) eine Matrix.

Der Spaltenrang von \(\displaystyle A\) ist die maximale Anzahl linear unabhängiger Spalten, was der Dimension des durch die Spalten erzeugten Teilraumes von \(\displaystyle K^m\) entspricht.

Der Zeilenrang von \(\displaystyle A\) ist die maximale Anzahl linear unabhängiger Zeilen, was der Dimension des durch die Zeilen erzeugten Teilraumes von \(\displaystyle K^n\) entspricht.

Das Unterscheiden zwischen Spaltenrang und Zeilenrang ist rein akademisch, denn in Satz 16BA wird gezeigt, dass es sich dabei immer um die gleiche Zahl handelt. Man spricht daher auch allgemein vom Rang der Matrix \(\displaystyle A\) und bezeichnet diesen mit \(\displaystyle \rang A\).

Der Rangbegriff ist bei der Aufklärung der Lösungsstruktur linearer Gleichungssysteme von fundamentaler Bedeutung.

Im folgenden verwenden wir \(\displaystyle \rang\) für den Spaltenrang. Bis zum Beweis der Gleichheit von Spaltenrang und Zeilenrang ist diese Schreibweise unkorrekt. Wir verwenden sie dennoch, um später nicht alle Sätze nochmals für den Zeilenrang formulieren zu müssen. Dabei behalten wir im Hinterkopf, dass wir bis zum Beweis von Satz 16BA alle Aussagen nur für den Spaltenrang gezeigt haben.

 
 

Satz 16B8 (Rang als Dimension des Bildraums)

Seien \(\displaystyle V,W\) endlich dimensionale Vektorräume und \(\displaystyle f:V\to W\) eine lineare Abbildung; \(\displaystyle B,C\) Basen von \(\displaystyle V\) und \(\displaystyle W\). Dann gilt für die Darstellungsmatrix von \(\displaystyle f\)

\(\displaystyle \rang M_{B,C}(f)=\dim\Image f\).

Mit \(\displaystyle \dim\Image f=\rang f\) wurde gerade der Rang einer linearen Abbildung definiert. Dieser stimmt also mit dem Rang der Darstellungsmatrix überein. Die Wahl der Basen spielt dabei keine Rolle.

Beweis (nur für Spaltenrang)

Nach Satz 16AT gilt \(\displaystyle f=k_C^\me\circ g\circ k_B\), wobei \(\displaystyle k_B\) und \(\displaystyle k_C\) die Koordinatenabbildungen bezüglich der Basen \(\displaystyle B\) und \(\displaystyle C\) sind und \(\displaystyle g:K^n\to K^m\) die zur Darstellungsmatrix \(\displaystyle M_{B,C}(f)\) gehörige Standardabbildung. Da die Koordinatenabbildungen Vektorraumisomorphismen sind, gilt \(\displaystyle \dim\Image f=\dim\Image g\) und nach Bemerkung 16B7 wird \(\displaystyle \Image g\) von den Spalten von \(\displaystyle M_{B,C}(f)\) erzeugt. \(\displaystyle \qed\)

Satz 16B9 (Zusammenhang von Rang und Invertierbarkeit)

Sei \(\displaystyle A\in\Mat(n\cross n,K)\) eine quadratische Matrix.

\(\displaystyle A\) ist genau dann invertierbar, wenn \(\displaystyle \rang A=n\).

Beweis (nur für Spaltenrang)

"\(\displaystyle \implies\)": Wenn \(\displaystyle A\) invertierbar ist, so ist nach Satz 16AU die Standardabbildung \(\displaystyle g: v\mapto Av\) für \(\displaystyle v\in K^n\) bijektiv. Also ist \(\displaystyle \Image g=K^n\) und nach Bemerkung 16B7 wird \(\displaystyle \Image g\) von den Spalten von \(\displaystyle A\) erzeugt, also \(\displaystyle n=\dim\Image g=\rang A\).

"\(\displaystyle \Leftarrow\)": Sei \(\displaystyle \rang A=n\). Nach Satz 16B5 gibt es invertierbare Matrizen \(\displaystyle U,V\Mat(n\cross n,K)\) so dass sich die Einheitsmatrix aus \(\displaystyle \Mat(n\cross n,K)\) als \(\displaystyle E=UAV\) darstellen lässt. Man setzt \(\displaystyle B:=VU\), womit gilt:

\(\displaystyle BA=VUA=VUAVV^\me\) \(\displaystyle =VV^\me=E\).

Daher ist \(\displaystyle B\) die inverse Matrix zu \(\displaystyle A\) und \(\displaystyle A\) ist damit invertierbar. \(\displaystyle \qed\)

Bemerkung

Ist eine Matrix \(\displaystyle A\) invertierbar, so ermöglicht die Zerlegung \(\displaystyle E=UAV\), sofort die Bestimmung der inversen Matrix von \(\displaystyle A\). Es gilt nämlich \(\displaystyle A^\me=VU\).

Satz 16BA (Äquivalenz von Spaltenrang und Zeilenrang)

Sei \(\displaystyle A\in\Mat(m\cross n,K)\) eine Matrix. Dann gilt: Der Zeilenrang und der Spaltenrang von \(\displaystyle A\) sind gleich.

Beweis

Nach dem Normalformensatz (Satz 16B5) finden wir für \(\displaystyle A\) invertierbare Matrizen \(\displaystyle U\) und \(\displaystyle V\), so dass

\(\displaystyle UAV=\matrix{{ {E_r} |0} {{--}--} {0 | 0}}\)

gilt und \(\displaystyle r\) dem Spaltenrang von \(\displaystyle A\) entspricht, also \(\displaystyle UAV\) den gleichen Spaltenrang wie \(\displaystyle A\) hat. Es folgt:

Spaltenrang von \(\displaystyle A\) = Spaltenrang von \(\displaystyle UAV\)

= Spaltenrang von \(\displaystyle (UAV)^t\)    (da \(\displaystyle UAV\) eine symmetrische Matrix ist)

= Spaltenrang von \(\displaystyle V^tA^tU^t\)     (Satz 15XT)

= Spaltenrang von \(\displaystyle A^t\)    (nach dem oben Gesagten und da \(\displaystyle V^tA^tU^t\) die Normalform von \(\displaystyle A^t\) ist)

= Zeilenrang von \(\displaystyle A\)     (da das Transponieren Zeilen und Spalten vertauscht) \(\displaystyle \qed\)

Seit der Zeit der Griechen bedeutet "Mathematik" zu sagen, "Beweis" zu sagen.

N. Bourbaki

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