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Quadratzahlen

Als Quadratzahl wird jede natürliche Zahl x bezeichnet, die das Produkt zweier gleicher, ganzer Faktoren ist, also = n² (sprich: n-Quadrat). Das gilt für die natürlichen Zahlen wie für die negativen Zahlen: .

Damit sind die Quadratzahlen Potenzen mit dem Exponenten 2.

Umgekehrt ist die Quadratwurzel jeder Quadratzahl eine natürliche Zahl. Die Zahl Null wird üblicherweise nicht als Quadratzahl angesehen.

Beispiele

• 4 ist eine Quadratzahl, denn (sprich: 2 zum Quadrat).
• 6 ist keine Quadratzahl, denn lässt sich nicht als Quadrat einer ganzen Zahl darstellen.
• 144 ist eine Quadratzahl, denn .
• 10000 ist eine Quadratzahl, denn .

Die ersten zwanzig Quadratzahlen sind: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400.

Formeln zum Generieren von Quadratzahlen

Eine Quadratzahl n² lässt sich als Summe der ersten n natürlichen, ungeraden Zahlen nach der Formel:

bilden (Beispiel 5227A). Außerdem ergibt die Summe zweier aufeinander folgender Dreieckszahlen eine Quadratzahl, wobei gilt:

Außerdem gilt:

Diese Eigenschaft trifft u.a., mit a = 1, auch auf die Primzahlzwillinge zu.

Jede Pyramidenzahl lässt sich als Summe der ersten n Quadratzahlen bilden:

= 1² + 2² + 3² + 4² + ... + n²

Berechnung von Fünfer-Quadratzahlen im Kopf

Das Quadrat von Zahlen, die auf 5 enden, lässt sich leicht im Kopf berechnen.

152 = 225

252 = 625

352 = 1225

Man multipliziert die Zahl ohne die Einerziffer 5 (in der letzten Zeile wird aus 45 z.B. 4) mit ihrem Nachfolger (hier 4+1=5) und setzt an das Produkt (hier ) die Ziffern 2 und 5 dran (Endergebnis 2025).

Herleitung

Eine Fünferzahl lässt sich darstellen als .

Ihr Quadrat ist somit .

Jede mathematische Formel in einem Buch halbiert die Verkaufszahl dieses Buches.

Stephen Hawking

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