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Quadratwurzeln

Unter der Quadratwurzel einer Zahl x versteht man in der Mathematik eine Zahl, deren Quadrat gleich der gegebenen Zahl x ist. Das Symbol für die Quadratwurzel aus x ist . Dabei wird die Zahl beziehungsweise der Rechenausdruck unter der Wurzel als Radikand bezeichnet. Möglich wäre auch die ausführlichere Schreibweise . Außerdem kann man die Quadratwurzel als Potenz ausdrücken. ist gleichwertig zu .

Beispiel: Wegen gilt .

Bei der formalen Definition der Quadratwurzel sind zwei Probleme zu berücksichtigen:

• Wenn man sich auf rationale Zahlen beschränkt, dann ist die Quadratwurzel in vielen Fällen nicht definiert. Schon in der Antike fand man heraus, dass etwa die Zahl keine rationale Zahl sein kann (vgl. Beispiel 5225H).
• Im Allgemeinen existieren zwei verschiedene Zahlen, deren Quadrate mit einer vorgegebenen Zahl übereinstimmen. Beispielsweise wäre wegen auch die Zahl -3 ein möglicher Kandidat für die Quadratwurzel aus 9.

Das Symbol für die Quadratwurzel wurde zum ersten Mal während des 16. Jahrhunderts benutzt. Es wird vermutet, dass das Zeichen eine modifizierte Form des kleinen r ist, das als Abkürzung für das lateinische Wort "radix" (Wurzel) steht. Ursprünglich wurde das Symbol dem Radikanden vorangestellt; die waagerechte Verlängerung fehlte. Noch Carl Friedrich Gauß verwendete daher Klammern für kompliziertere Wurzelausdrücke und schrieb zum Beispiel anstelle von .

Im Englischen wird die Quadratwurzel als "square root" bezeichnet, weshalb in vielen Programmiersprachen die Bezeichnung "sqrt" für die Quadratwurzelfunktion verwendet wird.

Quadratwurzeln aus reellen Zahlen

Definition: Die Quadratwurzel einer nicht-negativen reellen Zahl x ist diejenige nicht-negative reelle Zahl r, deren Quadrat gleich x ist.

Das oben erwähnte Problem, dass nicht definiert sein könnte, tritt im Bereich der reellen Zahlen für nicht auf. Auch die Eindeutigkeit ist gewährleistet, da negative Zahlen (z.B. -3) ausgeschlossen wurden.

Praktische Bestimmung von Quadratwurzeln aus reellen Zahlen

Selbst dann, wenn die Quadratwurzel aus einer natürlichen Zahl gezogen werden soll, ist das Ergebnis häufig eine irrationale Zahl, die sich durch einen nicht-periodisch unendlichen Dezimalbruch ausdrücken lässt. Es geht also oft nur darum, einen Näherungswert ausreichender Genauigkeit zu finden. Dazu gibt es eine Reihe von Möglichkeiten:

• Schriftliches Wurzelziehen: Hierbei handelt es sich um einen Algorithmus ähnlich dem gängigen Verfahren der schriftlichen Division.
• Bisektionsverfahren (Intervallschachtelung): Dieses Verfahren ist recht leicht zu verstehen, wenn auch in der praktischen Durchführung sehr mühsam (siehe Beispiel 164X).
• Babylonisches Wurzelziehen oder Heron-Verfahren: Dieses Iterationsverfahren wird insbesondere von Taschenrechnern verwendet, da es schnell konvergiert.
• Die Taylorreihen-Entwicklung von mit Entwicklungspunkt 1 kann mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes gefunden werden. Die Reihe konvergiert für | x | < 1 punktweise gegen den Funktionswert der Wurzelfunktion.

In der Mathematik gibt es keine Autoritäten. Das einzige Argument für die Wahrheit ist der Beweis.

K. Urbanik

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