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Punktfolgen

Eine Abbildung heißt eine Punktfolge. Man schreibt die Glieder der Punktfolge x¹ , x² , ..., x^k , ... mit hochgestellten Indizes und für die Folge schreibt man dann (x^k ). Das k-te Folgenglied in Tupelschreibweise wird dann

Eine Punktfolge (x^k ) heißt beschränkt, wenn ihr Wertevorrat beschränkt ist.

Ein heißt Grenzwert der Folge (x^k ), wenn

Konvergiert eine Folge x^k gegen einen Grenzwert g (Schreibweise: ) so liegen in jeder -Umgebung von g fast alle Folgenglieder und außerhalb nur endlich viele.

Satz 165M

Eine Punktfolge (x^k ) des konvergiert genau dann, wenn sie koordinatenweise konvergiert, also alle Folgen (x^k_j ) für j = 1...n konvergieren.

Bemerkung 165N

Der Satz 165M rechtfertigt, alle Ergebnisse der Konvergenz von Zahlenfolgen auf Punktfolgen des zu übertragen.

Insbesondere gilt das Cauchysche Konvergenzkriterium. Damit ist der ein vollständiger metrischer Raum.

Beispiel

Die Folge konvergiert gegen (0, 1), denn und .

Die Folge ist divergent, da (x^k₂ ) nicht konvergiert.

Es ist unglaublich, wie unwissend die studirende Jugend auf Universitäten kommt, wenn ich nur 10 Minuten rechne oder geometrisire, so schläft 1/4 derselben sanfft ein.

Georg Christoph Lichtenberg

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