Projektionssatz

In einem beliebigen Dreieck gilt:
\(\displaystyle c=a\cdot\cos \, \beta+b\cdot\cos \, \alpha\)
\(\displaystyle b=c\cdot\cos \, \alpha+a\cdot\cos \, \gamma\)
\(\displaystyle a=c\cdot\cos \, \beta+b\cdot\cos \, \alpha\)

Beweis

DreieckH.png
Es reicht eine der Formeln zu beweisen; die anderen ergeben sich durch zyklisches Vertauschen der Seiten und Winkel.
Wir zeichnen die Höhe von \(\displaystyle C\) auf Seite \(\displaystyle c\). Es gilt
\(\displaystyle \angle DCA = 90°-\alpha\)
und
\(\displaystyle \angle BCD = 90°-\beta\).
Jetzt wenden wir die Definition des Sinus an:
\(\displaystyle \sin(90°-\alpha)= \dfrac{q}{b}\) und \(\displaystyle \sin(90°-\beta)= \dfrac{p}{a}\).
Nach Satz 5220B gilt: \(\displaystyle \sin(90°-\phi)= \cos\phi\) und damit erhalten wir:
\(\displaystyle \cos\alpha= \dfrac{q}{b}\) und \(\displaystyle \cos\beta= \dfrac{p}{a}\).
Umgestellt erhalten wir:
\(\displaystyle p=a\cdot\cos\beta\) und \(\displaystyle q=b\cdot\cos\alpha\).
In der Summe ergibt sich dann die Behauptung:
\(\displaystyle p+q=c=a\cdot\cos\beta+b\cdot\cos\alpha\). \(\displaystyle \qed\)
 
 

Es ist unmöglich, die Schönheiten der Naturgesetze angemessen zu vermitteln, wenn jemand die Mathematik nicht versteht. Ich bedaure das, aber es ist wohl so.

Richard Feynman

Copyright- und Lizenzinformationen: Diese Seite ist urheberrechtlich geschützt und darf ohne Genehmigung des Autors nicht weiterverwendet werden.
Anbieterkеnnzeichnung: Mathеpеdιa von Тhοmas Stеιnfеld  • Dοrfplatz 25  •  17237 Blankеnsее  • Tel.: 01734332309 (Vodafone/D2)  •  Email: cο@maτhepedιa.dе