Projektionssatz

In einem beliebigen Dreieck gilt:

\(\displaystyle c=a\cdot\cos \, \beta+b\cdot\cos \, \alpha\)
\(\displaystyle b=c\cdot\cos \, \alpha+a\cdot\cos \, \gamma\)
\(\displaystyle a=c\cdot\cos \, \beta+b\cdot\cos \, \alpha\)

Beweis

Es reicht eine der Formeln zu beweisen; die anderen ergeben sich durch zyklisches Vertauschen der Seiten und Winkel.

Wir zeichnen die Höhe von \(\displaystyle C\) auf Seite \(\displaystyle c\). Es gilt

\(\displaystyle \angle DCA = 90°-\alpha\)
und
\(\displaystyle \angle BCD = 90°-\beta\).

Jetzt wenden wir die Definition des Sinus an:

\(\displaystyle \sin(90°-\alpha)= \dfrac{q}{b}\) und \(\displaystyle \sin(90°-\beta)= \dfrac{p}{a}\).

Nach Satz 5220B gilt: \(\displaystyle \sin(90°-\phi)= \cos\phi\) und damit erhalten wir:

\(\displaystyle \cos\alpha= \dfrac{q}{b}\) und \(\displaystyle \cos\beta= \dfrac{p}{a}\).

Umgestellt erhalten wir:

\(\displaystyle p=a\cdot\cos\beta\) und \(\displaystyle q=b\cdot\cos\alpha\).

In der Summe ergibt sich dann die Behauptung:

\(\displaystyle p+q=c=a\cdot\cos\beta+b\cdot\cos\alpha\). \(\displaystyle \qed\)

 
 

Eine mathematische Wahrheit ist an sich weder einfach noch kompliziert, sie ist.

Émile Lemoine

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Das Dreieck