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Primzahlzwillinge

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Primzahlzwillinge sind zwei Primzahlen, deren Abstand 2 ist, also zum Beispiel: (3 und 5) oder (5 und 7) oder (11 und 13).

Der Begriff "Primzahlzwilling" wurde erstmals von Paul Stäckel benutzt.

Genauer: Primzahlzwillinge nennt man zwei Primzahlen p₁ und p₂ , deren Differenz p₂ - p₁ = 2 ist. Die Primzahl p₂ = p₁ + 2 wird dabei auch als Primzahlzwilling zur Primzahl p₁ bezeichnet.

Eigenschaften

Jede Primzahl p > 3 die Form 6n-1 oder 6n + 1 (Bemerkung 1655).

Wenn nun (p, p + 2) Primzahlzwillinge sind, ist p auch nicht von der Form 6n+1. Also gilt: Wenn (p, q) Primzahlzwillinge sind, dann ist p von der Form 6n-1 und q von der Form 6n+1.

Daraus folgt auch, dass p*q+1 eine durch 36 teilbare Quadratzahl ist:

= 36n² - 1 + 1 = 36n² = (6n)² .

Mit einer ganzen Zahl n lässt sich jede ungerade Zahl in der Form 30n+1, 30n+3, 30n+5, 30n+7, ..., 30n+25, 30n+27, 30n+29 (bzw. letztere besser als 30n-1) darstellen. Primzahlen (außer 3 und 5) haben aber nie die Form 30n+3, 30n+5, 30n+9, 30n+15, 30n+21, 30n+25 und 30n+27, da alle solchen Zahlen durch 2, durch 3 oder durch 5 teilbar sind.

Daher hat jedes Primzahlzwillingspaar (außer (3,5) und (5,7)) genau eine der drei Formen

(30n-1, 30n+1), (30n+11, 30n+13), (30n+17, 30n+19)

(bzw. letzteres alternativ, da symmetrischer, als (30n-13, 30n-11)) (mit einer ganzen Zahl n).

Sonstiges

Das größte im Mai 2005 bekannte Paar von Primzahlzwillingen ist

das sind Zahlen mit 51.779 Ziffern. Das Zahlenpaar wurde von einer Gruppe von fünf ungarischen Mathematikern gefunden.

Zwei Primzahlzwillinge mit dem Abstand von vier, also Folgen der Form {p, p + 2, p + 6, p + 8}, nennt man Primzahlvierlinge.

Offene Fragestellung

Je größere Zahlen man betrachtet, desto weniger Primzahlen findet man dort. Obwohl unendlich viele Primzahlen existieren (Satz 5303B), ist es ungewiss, ob es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt.

Die Summe der Kehrwerte der Primzahlen ist divergent (Satz 1651), jedoch hat Viggo Brun im Jahr 1919 bewiesen, dass die Summe der Kehrwerte der Primzahlzwillinge konvergiert. Aus dieser Tatsache kann man nicht schließen, ob es endlich oder unendlich viele Primzahlzwillinge gibt.

Es gibt jedoch noch einen anderen Grund für die hohe Wertschätzung der Mathematik; sie allein bietet den Naturwissenschaften ein gewisses Maß an Sicherheit, das ohne Mathematik nicht erreichbar wäre.

Albert Einstein

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