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Primzahlen

Besitzt eine positive natürliche Zahl n nur die beiden trivialen Teiler 1 und sich selbst (n), dann heißt n eine Primzahl oder kurz prim.

Dabei soll 1 vereinbahrungsgemäß keine Primzahl sein.

Die Reihe der Primzahlen beginnt also mit: 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29...

2 ist die einzige gerade Primzahl, da jeder gerade Zahl größer 2 durch 2 teilbar ist.

Satz 5303B (Unendlichkeit der Primzahlen)

Die Menge der Primzahlen ist unendlich. Damit kann es insbesondere keine größte Primzahl geben.

Beweis

Nehmen wir an, es gibt nur endlich viele Primzahlen p₁ , p₂ , ..., p_n . Dann bilden wir die Zahl . Wegen der angenommenen Endlichkeit der Primzahlen hat p-1 einen der obigen Primteiler p_k und damit mit p wenigstens einen Primteiler (nämlich p_k ) gemeinsam. Dieser muss dann auch die Differenz p - (p-1) = 1 teilen, was ein offensichtlicher Widerspruch ist.

Dieser Beweis geht auf Eduard Kummer zurück und ist der wohl kürzest mögliche.

Satz 5303G

Teilt eine Primzahl p ein Produkt zweier natürlicher Zahlen m und n, dann teilt sie wenigstens einen Faktor. Formal:

p prim

Beweis

Wir nehmen an, dass p | mn und ; wir zeigen, dass dann p | n gelten muss. Wenn p kein Teiler von m ist, gilt ggT(m, p) = 1 und nach Satz 5303H ist dann offenbar p | n.

Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott geschaffen, alles andere ist Menschenwerk.

Leopold Kronecker

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