Primzahlen

Besitzt eine positive natürliche Zahl \(\displaystyle n\) nur die beiden trivialen Teiler \(\displaystyle 1\) und sich selbst (\(\displaystyle n\)), dann heißt \(\displaystyle n\) eine Primzahl oder kurz prim.

Dabei soll \(\displaystyle 1\) vereinbahrungsgemäß keine Primzahl sein.

Die Reihe der Primzahlen beginnt also mit: 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29...

\(\displaystyle 2\) ist die einzige gerade Primzahl, da jeder gerade Zahl größer \(\displaystyle 2\) durch \(\displaystyle 2\) teilbar ist.

Satz 5303B (Unendlichkeit der Primzahlen)

Die Menge der Primzahlen ist unendlich. Damit kann es insbesondere keine größte Primzahl geben.

 
 

Beweis

Nehmen wir an, es gibt nur endlich viele Primzahlen \(\displaystyle p_1,p_2,\ldots,p_n\). Dann bilden wir die Zahl \(\displaystyle p=p_1\cdot p_2\cdot\ldots\cdot p_n\). Wegen der angenommenen Endlichkeit der Primzahlen hat \(\displaystyle p-1\) einen der obigen Primteiler \(\displaystyle p_k\) und damit mit \(\displaystyle p\) wenigstens einen Primteiler (nämlich \(\displaystyle p_k\)) gemeinsam. Dieser muss dann auch die Differenz \(\displaystyle p-(p-1)=1\) teilen, was ein offensichtlicher Widerspruch ist. \(\displaystyle \qed\)

Dieser Beweis geht auf Eduard Kummer zurück und ist der wohl kürzest mögliche.

Satz 5303G (Lemma von Euklid)

Teilt eine Primzahl \(\displaystyle p\) ein Produkt zweier natürlicher Zahlen \(\displaystyle m\) und \(\displaystyle n\), dann teilt sie wenigstens einen Faktor. Formal:

\(\displaystyle p\) prim \(\displaystyle \and p|mn\implies p|m \or p|n\)

Beweis

Wir nehmen an, dass \(\displaystyle p|mn\) und \(\displaystyle \not p|m\); wir zeigen, dass dann \(\displaystyle p|n\) gelten muss. Wenn \(\displaystyle p\) kein Teiler von \(\displaystyle m\) ist, gilt \(\displaystyle \ggT(m,p)=1\) und nach Satz 5303H ist dann offenbar \(\displaystyle p|n\). \(\displaystyle \qed\)

Jede Wissenschaft bedarf der Mathematik, die Mathematik bedarf keiner.

Jakob I. Bernoulli

Copyright- und Lizenzinformationen: Diese Seite ist urheberlich geschützt und darf ohne Genehmigung des Autors nicht weiterverwendet werden.
Anbieterkеnnzeichnung: Wurzelzieher Mathеpеdιa  •  Тhοmas Stеιnfеld  • Dοrfplatz 25  •  17237 Blankеnsее  • Tel.: 01734332309 (Vodafone/D2)  •  Email: cο@maτhepedιa.dе
 
G: 28.08.2015 02:06:36 (431 ms; 481 M)

Natürliche Zahlen