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Zerlegung in Primfaktoren

Wenn n eine positive natürliche Zahl ist, dann gibt es zwei Möglichkeiten: entweder n ist eine Primzahl oder n lässt sich als Produkt zweier nichttrivialer Faktoren n₁ und n₂ darstellen. Dann können wir die gleiche Überlegung auf n₁ und n₂ anwenden und solange fortfahren, bis alle auftretenden Faktoren Primzahlen sind, diese heißen dann Primfaktoren und wir haben die Zahl in ihre Primfaktoren zerlegt.

Die obige Überlegung zeigt, dass sich jede positive natürliche Zahl in Primfaktoren zerlegen lässt (wir nehmen an, dass die Primzahlen nur einen Primfaktor, nämlich sich selbst, besitzen sollen).

Beispiele

Der Übersichtlichkeit halber verwendet man diese Potenzschreibweise.

Der folgende auch unter der Bezeichnung Fundamentalsatz der Arithmetik bekannte Satz sagt nun, dass die Zerlegung in Primfaktoren sogar eindeutig ist.

Satz 5303C (Zerlegung natürlicher Zahlen in Primfaktoren)

Jede positive natürliche Zahl lässt bis auf die Reihenfolge eindeutig als Produkt von Primzahlen darstellen.

Kürzer: Jede natürliche Zahl besitzt eine eindeutige Primfaktorenzerlegung.

Folgerungen

Wenn wir eine natürliche Zahl auf Teilbarkeit untersuchen wollen, reicht es also aus, als potentielle Teiler Primfaktoren zu betrachten.

Strukturen sind die Waffen der Mathematiker.

N. Bourbaki

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