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Theorien 1. Ordnung - Prädikatenlogik

Der Unterschied von Theorien 1. Ordnung zur Aussagenlogik ist die Hinzunahme des Allquantors und des Existenzquantors für Variablen, die es ermöglichen, Aussagen über eine Menge von Formeln zu machen. Es gibt auch noch Theorien 2. Ordnung, die den Anwendungsbereich der Quantoren auf Prädikate ausdehnen. Es sind dann nicht nur Aussagen für alle Individuen, sondern auch für alle Eigenschaften von Individuen möglich.

Beispiel

Jeder der mich mag, mag auch meine Frau. Peter mag meine Frau nicht. Daraus folgt: Peter mag auch mich nicht.

Folgende sprachliche Mittel werden in der Aussage verwendet:

• die Eigenschaft M(x, y) mit der Bedeutung ''x mag y"
• das Individuum a mit der Bedeutung ich, das Individuum b mit der Bedeutung meine Frau und das Individuum c mit der Bedeutung ''Peter"
• ein Quantor über Variablen: "" heißt für alle x gilt Eigenschaft P (im Bsp.: )

Formalisiert lautet die Aussage also

Beispiel

Der Nachfolger jeder geraden ganzen Zahl ist ungerade. 2 ist eine gerade ganze Zahl. Also ist der Nachfolger von 2 ungerade.

In der Aussagen werden die folgenden sprachlichen Mittel verwendet:

• die Eigenschaften G und E, wobei G(x) für "x ist eine ganze Zahl" und E(x) für "x ist gerade" steht
• die Funktion f, die den Nachfolger einer ganzen Zahl bezeichnet
• das Konstantensymbol b, wobei b für die ganze Zahl 2 steht

Damit können wir nun die Aussage formal aufschreiben:

Quantoren

bezeichnet man als Allquantor und als Existenzquantor. bedeutet "für alle x gilt P(x)" und bedeutet es gibt (mindestens) ein x für das P(x) gilt.

Mit diesen zwei Quantoren ist es uns jetzt möglich, Aussagen wie die folgenden zu machen:

• Alle Vierbeiner können laufen:
• Es gibt Tiere, die Vierbeiner sind:
• Also gibt es Tiere, die laufen können:

In einer Theorie 1. Ordnung gibt es folgende Elemente:

1. Zeichen:
   1. logische Verknüpfungszeichen wie , , , , ,
   2. Variablensymbole wie x₁ , x₂ , x₃ , ...,
   3. Konstantensymbole a₁ , a₂ , a₂ , ...,
   4. Prädikatensymbole Aⁿ_k , wobei die Stelligkeit und ein Index zur Unterscheidung verschiedener Prädikatensymbole ist, z.B. A¹₁ , A²₁ , A³₁ , A⁵₂ ,
   5. Funktionensymbole fⁿ_k , ist die Stelligkeit der Funktion und ein Index zur Unterscheidung verschiedener Funktionen ist und
   6. Quantoren und
2. Terme:
   1. Jedes Variablen- oder Konstantensymbol ist ein Term
   2. Wenn t₁ , ..., t_n Terme sind, dann ist auch fⁿ_k (t₁ , ..., t_n ) ein Term

Beispiel

x₁₅ ist ein Variablensymbol, a₃ ist ein Konstantensymbol, f²₃ (x₁₅ , a₃ ) und f¹₃ (f²₃ (x₁₅ , a₃ )) sind Terme.

Nicht etwa, daß bei größerer Verbreitung des Einblickes in die Methode der Mathematik notwendigerweise viel mehr Kluges gesagt würde als heute, aber es würde sicher viel weniger Unkluges gesagt.

Karl Menger

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