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Grundlagen der Mathematik


Potenzmengen

Da wir zur Bildung von Mengen wieder Mengen heranziehen können, ist folgende Definition naheliegend: Die Menge aller Teilmengen einer Menge M wird als Potenzmenge wFormel bezeichnet.
wFormel
Insbesondere gilt wFormel und wFormel.
Andere übliche Bezeichnungen für die Potenzmenge sind: wFormel, 2M , Pot(M), wFormel oder wFormel.
Eine beliebige Teilmenge der Potenzmenge wFormel heißt Mengensystem über M.

Beispiel

Sei M = {1, 2, 3} dann ist wFormel. Allgemein gilt: Enthält die Menge M n Elemente, dann enthält wFormel genau 2n Elemente.
Damit enthält wFormel genau ein Element, nämlich wFormel. Anhand des Potenzmengenbegriffes kann man sich sehr schön den Unterschied zwischen Teilmengenbeziehung und Elementbeziehung klarmachen. wFormel, d.h. die leere Menge ist Element der Potenzmenge der leeren Menge, womit diese nicht leer ist.

Satz 5608A

Für zwei Mengen A und B gilt: wFormel

Beweis

"wFormel": Sei wFormel, dann gilt wFormel und aus der Voraussetzung wFormel ergibt sich mit der Transitivität der Inklusion: wFormel, was wiederum nichts anderes bedeutet als wFormel. Da M beliebig gewählt war, erhalten wir die Behauptung: wFormel.
"wFormel": Nehmen wir jetzt ein beliebiges wFormel, dann gilt auch wFormel und aus der Voraussetzung wFormel erhalten wir wFormel; mit anderen Worten wFormel; womit sich die Behauptung wFormel ergibt. wFormel
Wenn wir uns jetzt fragen, wie sich die Potenzmengenbildung gegenüber den anderen Mengenoperationen verhält, ergibt sich

Satz 5608B

Für zwei Mengen A und B gilt:
  1. wFormel
  2. wFormel

Bemerkung

Interessanterweise gilt in im obigen Satz die sonst übliche Vertauschbarkeit von wFormel und wFormel nicht. Das bei (ii) die wFormel-Inklusion nicht gilt, kann man sich sofort klar machen, wenn man die Potenzmengen der beiden Mengen {1, 2} und {2, 3} mit der Potenzmenge ihrer Vereinigung vergleicht.

Beweis

(i) wFormel wFormel wFormel wFormel.
(ii) wFormel wFormel wFormel wFormel.
Man beachte in diesem Beweis die Stelle, an der die Äquivalenzkette bricht. Man kann aus wFormel folgern dass wFormel; das Enthaltensein in der Vereinigung bedeutet aber nicht automatisch auch das Enthaltensein in einer der Mengen A oder B. wFormel

Ein guter mathematischer Scherz ist immer besser als ein ganzes Dutzend mittelmäßiger gelehrter Abhandlungen.

John Edensor Littlewood

 

 

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