Potenzmengen

Da wir zur Bildung von Mengen wieder Mengen heranziehen können, ist folgende Definition naheliegend: Die Menge aller Teilmengen einer Menge M wird als Potenzmenge bezeichnet.

Insbesondere gilt und .

Andere übliche Bezeichnungen für die Potenzmenge sind: , 2^M , Pot(M), oder .

Eine beliebige Teilmenge der Potenzmenge heißt Mengensystem über M.

Beispiel

Sei M = {1, 2, 3} dann ist . Allgemein gilt: Enthält die Menge M n Elemente, dann enthält genau 2ⁿ Elemente.

Damit enthält genau ein Element, nämlich . Anhand des Potenzmengenbegriffes kann man sich sehr schön den Unterschied zwischen Teilmengenbeziehung und Elementbeziehung klarmachen. , d.h. die leere Menge ist Element der Potenzmenge der leeren Menge, womit diese nicht leer ist.

Satz 5608A

Für zwei Mengen A und B gilt:

Beweis

"": Sei , dann gilt und aus der Voraussetzung ergibt sich mit der Transitivität der Inklusion: , was wiederum nichts anderes bedeutet als . Da M beliebig gewählt war, erhalten wir die Behauptung: .

"": Nehmen wir jetzt ein beliebiges , dann gilt auch und aus der Voraussetzung erhalten wir ; mit anderen Worten ; womit sich die Behauptung ergibt.

Wenn wir uns jetzt fragen, wie sich die Potenzmengenbildung gegenüber den anderen Mengenoperationen verhält, ergibt sich

Satz 5608B

Für zwei Mengen A und B gilt:

Bemerkung

Interessanterweise gilt in im obigen Satz die sonst übliche Vertauschbarkeit von und nicht. Das bei (ii) die -Inklusion nicht gilt, kann man sich sofort klar machen, wenn man die Potenzmengen der beiden Mengen {1, 2} und {2, 3} mit der Potenzmenge ihrer Vereinigung vergleicht.

Beweis

(i) .

(ii) .

Man beachte in diesem Beweis die Stelle, an der die Äquivalenzkette bricht. Man kann aus folgern dass ; das Enthaltensein in der Vereinigung bedeutet aber nicht automatisch auch das Enthaltensein in einer der Mengen A oder B.

Ein guter mathematischer Scherz ist immer besser als ein ganzes Dutzend mittelmäßiger gelehrter Abhandlungen.

John Edensor Littlewood

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