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Grundlagen der Mathematik


Potenzmengen

Da wir zur Bildung von Mengen wieder Mengen heranziehen können, ist folgende Definition naheliegend: Die Menge aller Teilmengen einer Menge \(\displaystyle M\) wird als Potenzmenge \(\displaystyle \Pow(M)\) bezeichnet.

\(\displaystyle \Pow(M):=\{A| \space A\subseteq M\}\)

Insbesondere gilt \(\displaystyle \emptyset \in \Pow(M)\) und \(\displaystyle M \in \Pow(M)\).

Andere übliche Bezeichnungen für die Potenzmenge sind: \(\displaystyle \mathcal P(M)\), \(\displaystyle 2^M\), \(\displaystyle \mathrm{Pot}(M)\), \(\displaystyle \Pi(X)\) oder \(\displaystyle \mathfrak P(X)\).

Eine beliebige Teilmenge der Potenzmenge \(\displaystyle \sb F\subseteq \Pow(M)\) heißt Mengensystem über \(\displaystyle M\).

 
 

Beispiel

Sei \(\displaystyle M=\{1,2,3\}\) dann ist \(\displaystyle \Pow(M)=\{\emptyset, \{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\},\{1,2,3\}\}\). Allgemein gilt: Enthält die Menge \(\displaystyle M\) \(\displaystyle n\) Elemente, dann enthält \(\displaystyle \Pow(M)\) genau \(\displaystyle 2^n\) Elemente.

Damit enthält \(\displaystyle \Pow(\emptyset)\) genau ein Element, nämlich \(\displaystyle \emptyset\). Anhand des Potenzmengenbegriffes kann man sich sehr schön den Unterschied zwischen Teilmengenbeziehung und Elementbeziehung klarmachen. \(\displaystyle \Pow(\emptyset)= \{\emptyset\}\), d.h. die leere Menge ist Element der Potenzmenge der leeren Menge, womit diese nicht leer ist.

Satz 5608A

Für zwei Mengen \(\displaystyle A\) und \(\displaystyle B\) gilt: \(\displaystyle A\subseteq B \iff \Pow(A) \subseteq \Pow(B)\)

Beweis

"\(\displaystyle \implies\)": Sei \(\displaystyle M\in \Pow(A)\), dann gilt \(\displaystyle M\subseteq A\) und aus der Voraussetzung \(\displaystyle A\subseteq B\) ergibt sich mit der Transitivität der Inklusion: \(\displaystyle M\subseteq B\), was wiederum nichts anderes bedeutet als \(\displaystyle M\in \Pow(B)\). Da \(\displaystyle M\) beliebig gewählt war, erhalten wir die Behauptung: \(\displaystyle \Pow(A) \subseteq \Pow(B)\).

"\(\displaystyle \Leftarrow\)": Nehmen wir jetzt ein beliebiges \(\displaystyle a\in A\), dann gilt auch \(\displaystyle \{a\} \in \Pow(A)\) und aus der Voraussetzung \(\displaystyle \Pow(A) \subseteq \Pow(B)\) erhalten wir \(\displaystyle \{a\} \in \Pow(B)\); mit anderen Worten \(\displaystyle a\in B\); womit sich die Behauptung \(\displaystyle A\subseteq B\) ergibt. \(\displaystyle \qed\)

Wenn wir uns jetzt fragen, wie sich die Potenzmengenbildung gegenüber den anderen Mengenoperationen verhält, ergibt sich

Satz 5608B

Für zwei Mengen \(\displaystyle A\) und \(\displaystyle B\) gilt:

  1. \(\displaystyle \Pow(A\cap B) = \Pow(A)\cap\Pow(B)\)
  2. \(\displaystyle \Pow(A\cup B) \supseteq \Pow(A)\cup\Pow(B)\)

Bemerkung

Interessanterweise gilt in im obigen Satz die sonst übliche Vertauschbarkeit von \(\displaystyle \cap\) und \(\displaystyle \cup\) nicht. Das bei (ii) die \(\displaystyle \supseteq\)-Inklusion nicht gilt, kann man sich sofort klar machen, wenn man die Potenzmengen der beiden Mengen \(\displaystyle \{1,2\}\) und \(\displaystyle \{2,3\}\) mit der Potenzmenge ihrer Vereinigung vergleicht.

Beweis

(i) \(\displaystyle X\in\Pow(A)\cap\Pow(B) \iff X\in\Pow(A) \and X\in\Pow(B) \iff\) \(\displaystyle X\subseteq A \and X\subseteq B \iff\) \(\displaystyle X\subseteq (A\cap B) \iff\) \(\displaystyle X\in\Pow(A\cap B)\).

(ii) \(\displaystyle X\in\Pow(A)\cup\Pow(B) \iff X\in\Pow(A) \or X\in\Pow(B) \iff\) \(\displaystyle X\subseteq A \or X\subseteq B \implies\) \(\displaystyle X\subseteq (A\cup B) \iff\) \(\displaystyle X\in\Pow(A\cup B)\).

Man beachte in diesem Beweis die Stelle, an der die Äquivalenzkette bricht. Man kann aus \(\displaystyle X\subseteq A \or X\subseteq B\) folgern dass \(\displaystyle X\subseteq (A\cup B)\); das Enthaltensein in der Vereinigung bedeutet aber nicht automatisch auch das Enthaltensein in einer der Mengen \(\displaystyle A\) oder \(\displaystyle B\). \(\displaystyle \qed\)

Strukturen sind die Waffen der Mathematiker.

N. Bourbaki

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