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Positionssysteme

Ein Positionssystem (auch Stellenwertsystem genannt) ist ein Zahlensystem, das im Vergleich zu Additionssystemen mit wenigen Symbolen (meist Ziffern oder Zahlzeichen genannt) große Zahlen darstellt. In diesem Zusammenhang wird auch oft von der b-adischen Darstellung von Zahlen (nicht zu verwechseln mit p-adischen Zahlen) gesprochen, wobei die Variable b für die Anzahl der Ziffern steht. Der Wert von b wird in diesem Zusammenhang auch oft als Basis oder Grundzahl bezeichnet.

Beispiele für Stellenwertsysteme sind das im Alltag gewöhnlich gebrauchte Dezimalsystem (dekadisches System mit der Grundzahl 10), das Dualsystem (dyadisches System mit der Grundzahl 2) und das Hexadezimalsystem (hexadekadisches System mit der Grundzahl 16). Ein Beispiel für ein Zahlensystem, das kein Stellenwertsystem ist, ist das der römischen Ziffern. Es handelt sich dabei um ein Additionssystem.

Ziffern

Die b-adische Darstellung einer Zahl verwendet genau b verschiedene Ziffern (wobei b hier für eine beliebige natürliche Zahl größer als 1 steht). Jeder dieser b Ziffern wird eindeutig eine der Zahlen von 0 bis b-1 zugeordnet. Zur Unterscheidung sind im Folgenden Ziffersymbole stets fett gedruckt, ihre zugehörigen Zahlenwerte normal gedruckt.

Beispiele

• Im Dualsystem mit b = 2 werden gewöhnlich die Ziffern 0 und 1 verwendet und ihnen die Zahlen 0 und 1 zugeordnet.
• Im Dezimalsystem ist b = 10 und es werden gewöhnlich die 10 Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 und 9 verwendet und diesen (in dieser Reihenfolge) die Zahlen 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 zugeordnet.

Für b < 10 werden gewöhnlich die ersten b Ziffern wie im Dezimalsystem verwendet. Für b > 10 werden gewöhnlich ebenfalls die Ziffern des Dezimalsystems und als neue, zusätzliche Ziffern die ersten Buchstaben des Alphabets verwendet.

• Im Hexadezimalsystem mit b = 16 werden also zusätzlich die Ziffern A, B, C, D, E und F gebraucht und diesen (wieder in dieser Reihenfolge) die Zahlen 10, 11, 12, 13, 14 und 15 zugeordnet.

Verallgemeinerung

Die Basis b muss nicht notwendigerweise eine natürliche Zahl sein. Es wurde nachgewiesen, dass sämtliche komplexen Zahlen mit Betrag größer 1 als Basis eines Stellenwertsystems verwendet werden können. Ebenso sind Zahlensysteme mit gemischten Grundzahlen möglich. Beispiele hierfür findet man in Knuth, The Art of Computer Programming.

Für solche verallgemeinerten Stellenwertsysteme gelten einige der hier gemachten Aussagen über die endliche Darstellbarkeit rationaler und reeller Zahlen nicht. Wird zum Beispiel der Goldene Schnitt t = (1+v5)/2 als Basis verwendet, dann stellt eine endliche Ziffernfolge stets eine ganze Zahl oder eine irrationale Zahl der Form r+sv5 mit rationalen r, s dar (dagegen hat nicht jede solche Zahl eine endliche Darstellung).

Genau wie man die reellen Zahlen über nach rechts unendliche Dezimalbrüche definieren kann, ist es möglich, formal mit nach links unendlichen b-adischen "Zahlen" zu rechnen. Ist b = p eine Primzahl, erhält man den Körper der p-adischen Zahlen.

Ein Mathematiker, der nicht irgendwie ein Dichter ist, wird nie ein vollkommener Mathematiker sein.

Karl Weierstraß

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