Polynome

Ein Polynom ist eine reelle Funktion der Form
\(\displaystyle f(x)=\sum\limits_{i=0}^n {a_ix^i}=a_0+a_1x+a_2x^2+\ldots+a_nx^n\)
dabei sei \(\displaystyle n\in \dom N\) und \(\displaystyle a_n\in \dom R\), \(\displaystyle a_n\neq0\). Polynome heißen auch ganzrationale Funktionen.
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Die Zahl \(\displaystyle n\) heißt Grad des Polynoms und wird mit \(\displaystyle \deg(f)\) bezeichnet. Die \(\displaystyle a_i\) sind die Koeffizienten des Polynoms, wobei \(\displaystyle a_n\) der Leitkoeffizient ist.
Für den Grad von Polynomen \(\displaystyle f\) und \(\displaystyle g\) gilt:
\(\displaystyle \deg(f+g) \le \max(\deg f, \deg g) \)
\(\displaystyle \deg(f\cdot g) = \deg f + \deg g\, \)
 
 

Spezielle Polynome

Konstante Funktion

\(\displaystyle y=f(x)=c\) für ein festes \(\displaystyle c\in\dom R\) ist die konstante Funktion.
Als Polynom betrachtet hat die konstante Funktion den Grad 0.

Identische Funktion

\(\displaystyle y=f(x)=x\)
Die identische Funktion ist eine spezielle lineare Funktion. Als Polynom betrachtet hat sie den Grad 1.
Polynome des Grades
  • 1 heißen lineare Funktionen (z. B. \(\displaystyle fP(x) = 1x + 3 \)).
  • 2 heißen quadratische Funktionen (z. B. \(\displaystyle P(x) = -3x^2-x + 3 \)).
  • 3 heißen kubische Funktionen (z. B. \(\displaystyle P(x) = 6x^3-3x^2+5x + 1 \)).
  • 4 heißen quartische Funktionen (z. B. \(\displaystyle P(x) = -3x^3-x^2+3x + 1 \)).

Nullstellen

Ist \(\displaystyle x_0\) eine Nullstelle von \(\displaystyle f(x)=\sum\limits_{i=0}^n {a_ix^i}=a_0+a_1x+\ldots+a_nx^n\), so gibt es ein Polynom \(\displaystyle f_1\)vom Grad \(\displaystyle n-1\), sodass \(\displaystyle f(x)=(x-x_0)\cdot f_1(x)\).
Allgemein gilt: sind \(\displaystyle x_0\), \(\displaystyle x_1\), ... \(\displaystyle x_l\) Nullstellen von \(\displaystyle f\), so gibt es ein Polynom \(\displaystyle g\) von Grad \(\displaystyle n-l\), sodass \(\displaystyle f(x)=(x-x_0)\cdot (x-x_1)\cdot \dots\cdot (x-x_l)\cdot g(x)\). Dies folgt aus dem Fundamentalsatz der Algebra.

Definition

Eine reelle Zahl \(\displaystyle x_0\) heißt \(\displaystyle k\)-fache Nullstelle (oder Nullstelle \(\displaystyle k\)-ter Ordnung) von \(\displaystyle f\), wenn es ein Polynom \(\displaystyle f_k\) vom Grad \(\displaystyle n-k\) gibt, sodass \(\displaystyle f(x)=(x-x_0)^k\cdot f_k(x)\) und \(\displaystyle f_k(x_0)\neq 0\).Ein Polynom vom Grad \(\displaystyle n\) kann also maximal \(\displaystyle n\) verschiedene Nullstellen besitzen. Besitzt es genau \(\displaystyle n\) (nicht notwendigerweise verschiedene) Nullstellen, kann man es als Produkt von \(\displaystyle n\) Linearfaktoren darstellen:
\(\displaystyle f(x)=\prod\limits_{i=1}^n(x-x_i)\),
wobei die \(\displaystyle x_i\) (\(\displaystyle i=1\dots n)\) die Nullstellen von \(\displaystyle f\) sind.

Beispiele

  1. \(\displaystyle f(x)=x^4-2x^3-x+2\) hat die nur beiden Nullstellen \(\displaystyle x_1=1\) und \(\displaystyle x_2=2\), es gilt \(\displaystyle f(x)=x^4-2x^3-x+2\) \(\displaystyle =(x^2+x+1)\cdot(x-1)\cdot(x-2)\).
  2. \(\displaystyle f(x)= x ^{7} - 6 x ^{6} + 13 x ^{5} - 13 x ^{4} + 10 x ^{3} - 13 x ^{2} + 12 x - 4\) hat die dreifache Nullstelle \(\displaystyle x_1=1\) und die doppelte Nullstelle \(\displaystyle x_2=2\); es gilt \(\displaystyle f(x)=( x ^{2} + x + 1) \cdot( x - 1) ^{3} \cdot( x - 2) ^{2}\).

Man darf nicht das, was uns unwahrscheinlich und unnatürlich erscheint, mit dem verwechseln, was absolut unmöglich ist.

Carl Friedrich Gauß

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