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Wurzelzieher Blog

Analytische Geometrie


Polarkoordinaten

Die Polarkoordinaten (auch: Kreiskoordinaten) eines Punktes in der euklidischen Ebene werden in Bezug auf einen Koordinatenursprung (einen Punkt der Ebene) und eine Richtung (einen im Koordinatenursprung beginnenden Strahl) angegeben.
Ebene Polarkoordinaten und ihre Transformation in kartesische Koordinaten
Ebene Polarkoordinaten und ihre Transformation in kartesische Koordinaten
Die Koordinate r, eine Länge, wird als Radius, die Winkelkoordinate wFormel als Azimut bezeichnet.
Für die Funktionaldeterminante in ebenen Polarkoordinaten erhält man
wFormel

Umrechnung zwischen Polarkoordinaten und kartesischen Koordinaten

Wenn man ein kartesisches Koordinatensystem mit gleichem Ursprung sowie der x-Achse in Polarkoordinatenrichtung wählt, ergibt sich
wFormel
als Transformation zu kartesischen Koordinaten.
Polar zu kartesisch lässt sich demnach folgendermaßen umrechnen:
wFormel
wFormel
Für kartesisch zu polar gelten die folgenden Formeln:
wFormel
wFormel
Letztere Formel stimmt allerdings nur im ersten Quadranten, genauer für x>0,y>0. Im Fall x<0 ist wFormel, und für x>0,y<0 sogar wFormel zu diesem Winkel zu addieren.

Das Linienelement

Aus der obigen Transformationsgleichung
wFormel
folgen
wFormel
wFormel
Für das kartesische Linienelement gilt
ds2 = dx2 + dy2
wofür in Polarkoordinaten folgt
wFormel

Geschwindigkeit und Beschleunigung in Polarkoordinaten

Die Geschwindigkeit wFormel ist gegeben durch wFormel
Die Beschleunigung wFormel ist gegeben durch wFormel

Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott geschaffen, alles andere ist Menschenwerk.

Leopold Kronecker

 

 

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