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Analytische Geometrie


Polarkoordinaten

Die Polarkoordinaten (auch: Kreiskoordinaten) eines Punktes in der euklidischen Ebene werden in Bezug auf einen Koordinatenursprung (einen Punkt der Ebene) und eine Richtung (einen im Koordinatenursprung beginnenden Strahl) angegeben.

Ebene Polarkoordinaten und ihre Transformation in kartesische Koordinaten

Ebene Polarkoordinaten und ihre Transformation in kartesische Koordinaten

Die Koordinate r, eine Länge, wird als Radius, die Winkelkoordinate \(\displaystyle \phi\) als Azimut bezeichnet.

Für die Funktionaldeterminante in ebenen Polarkoordinaten erhält man

\(\displaystyle \det\dfrac{\partial(x,y)}{\partial(r,\varphi)}=\begin{vmatrix} \cos\varphi & -r\sin\varphi \\ \sin\varphi & r\cos\varphi \end{vmatrix}=r\cos\varphi\cos\varphi + r\sin\varphi\sin\varphi=r\)

 
 

Umrechnung zwischen Polarkoordinaten und kartesischen Koordinaten

Wenn man ein kartesisches Koordinatensystem mit gleichem Ursprung sowie der \(\displaystyle x\)-Achse in Polarkoordinatenrichtung wählt, ergibt sich

\(\displaystyle \vec r=r \, \cos\varphi \, \vec e_x + r \, \sin\varphi \, \vec e_y\)

als Transformation zu kartesischen Koordinaten.

Polar zu kartesisch lässt sich demnach folgendermaßen umrechnen:

\(\displaystyle x=r \, \cos\varphi\)
\(\displaystyle y=r \, \sin\varphi\)

Für kartesisch zu polar gelten die folgenden Formeln:

\(\displaystyle r=\sqrt{x^2 + y^2}\)
\(\displaystyle \varphi = \arctan \dfrac{y}{x}\)

Letztere Formel stimmt allerdings nur im ersten Quadranten, genauer für x>0,y>0. Im Fall x<0 ist \(\displaystyle \pi\), und für x>0,y<0 sogar \(\displaystyle 2\pi\) zu diesem Winkel zu addieren.

Das Linienelement

Aus der obigen Transformationsgleichung

\(\displaystyle \vec r=r \, \cos\varphi \, \vec e_x + r \, \sin\varphi \, \vec e_y\)

folgen

\(\displaystyle dx=dr \, \cos\varphi - r \, d\varphi \, \sin\varphi\)
\(\displaystyle dy=dr \, \sin\varphi + r \, d\varphi \, \cos\varphi\)

Für das kartesische Linienelement gilt

\(\displaystyle ds^2=dx^2+dy^2\)

wofür in Polarkoordinaten folgt

\(\displaystyle ds^2=dr^2+d\varphi^2 r^2\)

Geschwindigkeit und Beschleunigung in Polarkoordinaten

Die Geschwindigkeit \(\displaystyle \dot {\vec r}\) ist gegeben durch \(\displaystyle \dot{\vec r}=\dot{r}\vec e_r + r\dot{\varphi}\vec e_\varphi\)

Die Beschleunigung \(\displaystyle \ddot {\vec r}\) ist gegeben durch \(\displaystyle \ddot{\vec r}=(\ddot r - r\dot\varphi^2) \vec e_r+(2\dot r \dot \varphi + r \ddot \varphi) \vec e_{\varphi}\)

Das Buch der Natur ist mit mathematischen Symbolen geschrieben.

Galileo Galilei

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