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Polarkoordinaten und Zylinderkoordinaten

Dieser Artikel behandelt Polarkoordinaten der Ebene sowie die eng damit verwandten Zylinderkoordinaten im Raum. Für räumliche Polarkoordinaten siehe den Artikel Kugelkoordinaten.

Ebene Polarkoordinaten: Kreiskoordinaten

Die Polarkoordinaten (auch: Kreiskoordinaten) eines Punktes in der euklidischen Ebene werden in Bezug auf einen Koordinatenursprung (einen Punkt der Ebene) und eine Richtung (einen im Koordinatenursprung beginnenden Strahl) angegeben.

Ebene Polarkoordinaten und ihre Transformation in kartesische Koordinaten

Die Koordinate r, eine Länge, wird als Radius, die Winkelkoordinate als Azimut bezeichnet.

Für die Funktionaldeterminante in ebenen Polarkoordinaten erhält man

Umrechnung zwischen Polarkoordinaten und kartesischen Koordinaten

Wenn man ein kartesisches Koordinatensystem mit gleichem Ursprung sowie der x-Achse in Polarkoordinatenrichtung wählt, ergibt sich

als Transformation zu kartesischen Koordinaten.

Polar zu kartesisch lässt sich demnach folgendermaßen umrechnen:

Für kartesisch zu polar gelten die folgenden Formeln:

Letztere Formel stimmt allerdings nur im ersten Quadranten, genauer für x>0,y>0. Im Fall x<0 ist , und für x>0,y<0 sogar zu diesem Winkel zu addieren.

Das Linienelement

Aus der obigen Transformationsgleichung

folgen

Für das kartesische Linienelement gilt

ds² = dx² + dy²

wofür in Polarkoordinaten folgt

Geschwindigkeit und Beschleunigung in Polarkoordinaten

Die Geschwindigkeit ist gegeben durch

Die Beschleunigung ist gegeben durch

Zylinderkoordinaten

Zylindrische Koordinaten sind im Wesentlichen ebene Polarkoordinaten, die um eine dritte Koordinate ergänzt sind. Diese dritte Koordinate, im Allgemeinen h genannt, beschreibt die Höhe eines Punktes über (oder unter) der Ebene des Kreiskoordinatensystems.

Wenn man ein kartesisches Koordinatensystem mit gleichem Ursprung wie beim Kreiskoordinatensystem wählt, und eine dritte Achse (z-Achse) senkrecht auf der Ebene errichtet, dann ergeben sich

x = r cos

y = r sin

z = h

als Transformationsgleichungen zwischen den beiden Darstellungen. Der Abstand r ist jetzt nicht mehr der Abstand des Punktes vom Koordinatenursprung, sondern von der z-Achse.

Die Hinzunahme der geradlinigen Koordinaten h hat keinen Einfluss auf die Funktionaldeterminante:

Folglich ergibt sich für das Volumenelement dV:

Umrechnung kartesisch und zylindrisch

z = h

h = z

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Siehe auch: Affine Koordinaten, Kreis, Zylinder, Box-Muller-Verfahren

Insofern sich die Sätze der Mathematik auf die Wirklichkeit beziehen, sind sie nicht sicher, und insofern sie sicher sind, beziehen sie sich nicht auf die Wirklichkeit.

Albert Einstein

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