Yacas Reloaded - Freies Computer Algebra System

Inhalt

Grundlagen der Mathematik

Analysis

Reelle Zahlen

Reelle Funktionen

Funktionsfolgen und -reihen

Spezielle Funktionen

Parameterintegrale

Gammafuntion

Betafunktion

Pochhammer-Symbol

Digamma-Funktion

Hypergeometrische Funktion

Legendre-Polynom

Hermitesches Polynom

Laguerre-Polynome

Elliptisches Integral

Mehrdimensionale Analysis

Funktionentheorie

Spezielle Teilgebiete

Maß- und Integrationstheorie

Variationsrechnung

Nichtstandardanalysis

Differentialgleichungen

Funktionalanalysis

Differentialgeometrie

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Pochhammer-Symbol

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Das Pochhammer-Symbol ist eine spezielle Funktion die in der Kombinatorik und in der Theorie der hypergeometrischen Funktionen verwendet wird. Der Name geht auf Leo August Pochhammer zurück.

Notation

Für das Symbol, das diese Funktion repräsentiert sind verschiedene Varianten gebräuchlich:

x⁽ⁿ⁾ (u.a. in der Kombinatorik)

(x, n), (x)_n (Analysis, spezielle Funktionen)

(xⁿ ) (weitere Varianten)

In der Theorie der speziellen Funktionen wird mit

(x)_n

die steigenden Faktoriellen bezeichnet

hingegen wird in der Kombinatorik damit die fallenden Faktoriellen bezeichnet

Um eine Verwechslung zu vermeiden, wird oftmals (x)ⁿ für die steigenden und (x)_n für die fallenden Faktoriellen verwendent. Des weiteren gibt es eine neue Notation für die steigenden bzw. fallenden Faktoriellen, welche von Ronald L. Graham, Donald E. Knuth und Oren Patashnik in ihren Buch Concrete Mathematics eingeführt wurde. Für die steigenden Faktoriellen schreiben sie

und für die fallenden Faktoriellen

Definition im Sinne der speziellen Funktionen

Das Pochhammer-Symbol wird im Allgemeinen über die Gamma-Funktion definiert,

beschränkt man sich jedoch auf natürliche Zahlen, so vereinfacht sich die Definition auf

Eigenschaften

Das Pochhammer-Symbol ist meromorphe Funktion
Ist , so kann (x, n) als Polynom in x dargestellt werden. Diese haben eine gemeinsame Nullstelle bei x = 0.
Zusammenhang zwischen Koeffizienten verschiedener Vorzeichen

Divisionsregel

spezielle Werte

(1, n) = n!

(1/2, n) = 2^{- n} (2n-1)!!

(0, 0) = 1

Die Mathematik als Fachgebiet ist so ernst, daß man keine Gelegenheit versäumen sollte, dieses Fachgebiet unterhaltsamer zu gestalten.

Blaise Pascal

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