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Oktonionen

Die Oktaven, auch Oktonionen oder Cayleyzahlen, sind eine Verallgemeinerung der Quaternionen und besitzen das Mengensymbol . Sie entstehen durch die Anwendung des Verdopplungsverfahrens aus den Quaternionen.

Geschichte

Die Oktonionen wurden im Jahr 1843 von John Graves in einem Brief an William Rowan Hamilton zum ersten Mal beschrieben. Unabhängig davon wurden sie 1845 von Arthur Cayley veröffentlicht.

Multiplikationstabelle

Die Oktonionen sind ein 8-dimensionaler Vektorraum über den reellen Zahlen mit Addition und Multiplikation. Die Multiplikation ist -- mit der Basis (1, i, j, k, l, m, n, o) -- wie folgt gegeben:

Eigenschaften

Die Oktonionen sind eine Divisionsalgebra mit Einselement.

Sie bilden keinen Schiefkörper (und damit auch keinen Körper), denn sie verletzen das

Assoziativgesetz der Multiplikation:

Es gilt jedoch für alle Oktaven a und b:

und

Diese Eigenschaft wird Alternativität genannt. Die Oktonionen bilden einen Alternativkörper.

Aus der Alternativität folgt die Beziehung

Diese Beziehung wird auch Flexibilitätsgesetz genannt.

Die Oktonionen erfüllen außerdem die schärferen Moufang-Identitäten

und

Mehr

Jede Oktave kann dargestellt werden ...

... als 8er-Tupel von reellen Zahlen: (r₁ , r₂ , ... , r₈ )

... als 4er-Tupel von komplexen Zahlen: (c₁ , c₂ , c₃ , c₄ )

... als geordnetes Paar von Quaternionen: (h₁ , h₂ )

Der Körper der reellen Zahlen kann als Unterstruktur von betrachtet werden:

Für alle Zahlen r aus

gilt: r entspricht (r, 0, ... , 0)

Der Körper der komplexen Zahlen kann als Unterstruktur von betrachtet werden:

Für alle Zahlen c aus

gilt: c entspricht (c, 0, 0, 0)

Der Schiefkörper der Quaternionen kann als Unterstruktur von betrachtet werden:

Für alle Zahlen h aus

gilt: h entspricht (h, 0)

Für die Oktaven sind Addition und Multiplikation so definiert, dass sie abwärtskompatibel sind, das heißt ...

... für alle reellen Zahlen r und s gilt:

r + s = (r, 0, ..., 0) + (s, 0, ..., 0)

... für alle komplexen Zahlen c und d gilt:

c + d = (c, 0, 0, 0) + (d, 0, 0, 0)

... für alle Quaternionen h und i gilt:

h + i = (h, 0) + (i, 0)

Literatur

B. L van der Waerden: A history of Algebra, Springer-Verlag Heidelberg.
Ruth Moufang: Zur Struktur von Alternativkörpern, Math. Ann. 110(1934)416.
John Baez, The Octonions, Bull. Amer. Math. Soc. 39 (2002), 145-205. Online HTML version at http://math.ucr.edu/home/baez/octonions/.
John Conway and Derek Smith, On Octonions and Quaternions, A K Peters, Natick, MA (2003). ISBN 1-56881-134-9.

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Hyperkomplexe Zahlen:

Seit der Zeit der Griechen bedeutet "Mathematik" zu sagen, "Beweis" zu sagen.

N. Bourbaki

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