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Zahlensysteme


Oktalsystem

Das Oktalsystem (von lateinisch octo acht) ist ein Stellenwertsystem mit der Basis 8 (ein so genanntes 8er-System). Das Oktalsystem kennt zur Darstellung einer Zahl acht verschiedene Ziffern: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 und 7.

Oktal Dezimal Hexadezimal Dual
0 0 0 0000
1 1 1 0001
2 2 2 0010
3 3 3 0011
4 4 4 0100
5 5 5 0101
6 6 6 0110
7 7 7 0111
10 8 8 1000
11 9 9 1001
12 10 A 1010
13 11 B 1011
14 12 C 1100
15 13 D 1101
16 14 E 1110
17 15 F 1111

 
 

Zählen im Oktalsystem

Beim Zählen im Oktalsystem ist zu beachten, das nach 7 nicht die 8 folgt, sondern eine Stelle weiter links erhöht werden muß. Im Oktalsystem gilt: 7 + 1 = 10.

Anwendung und Kennzeichnung

In der Computertechnik wurden die Oktalzahlen benutzt, weil die Umwandlung vom und ins Binärsystem einfach ist.

Jede Ziffer einer Oktalzahl kann durch drei Bit dargestellt werden und umgekehrt.

Oktalzahlen werden häufig durch ein nachgestelltes "o" gekennzeichnet.

In der Programmiersprache C wird eine "0" vorangestellt, um eine Oktalzahl von einer Dezimalzahl zu unterscheiden. In TeX wird eine Oktalzahl durch ein vorangestelltes Hochkomma gekennzeichnet.

In der Mathematik wird oft auch die Basis des Zahlensystems an die Zahl angefügt:

z.B. \(\displaystyle 172_{(8)}\) = \(\displaystyle 122_{(10)}\)

Umwandlung von Dezimalzahlen in Oktalzahlen

Eine Dezimalzahl kann in eine Oktalzahl umgewandelt werden, indem sie wiederholt durch die Basis 8 geteilt wird und die dabei entstehenden Divisionsreste notiert werden. Zum Beispiel werden für die Dezimalzahl \(\displaystyle 122_{(10)}\) drei Rechenschritte benötigt:

122 : 8 = 15 Rest 2

15 : 8 = 1 Rest 7

1 : 8 =0 Rest 1

Die Divisionsreste von unten nach oben gelesen ergeben die Oktalzahl \(\displaystyle 172_{(8)}\).

Umwandlung von Oktalzahlen in Dezimalzahlen

Um eine Oktalzahl in eine Dezimalzahl umzuwandeln, muss man die einzelnen Ziffern mit der jeweiligen Potenz der Basis multiplizieren. Der Exponent der Basis entspricht der Stelle der Ziffer, wobei der Zahl vor dem Komma eine Null zugeordnet wird.

Beispiel für \(\displaystyle 172_{(8)}\):

\(\displaystyle 1 \cdot 8^2 + 7 \cdot 8^1 + 2 \cdot 8^0 = 122_{(10)}\)

Mathematische Darstellung des Oktalsystems

Die mathematische Darstellung zeigt die Wertigkeit der einzelnen Ziffern im Oktalsystem. Als Trennzeichen zwischen dem ganzzahligen und dem gebrochenen Anteil der Zahl dient das Komma:

\(\displaystyle o_m o_{m-1} \cdots o_0 ,o_{-1} o_{-2} \cdots o_{-n} = \sum\limits_{i=-n}^m o_i \cdot 8^i\)

\(\displaystyle m,n\in\mathbb{N}\), \(\displaystyle o_i\in\{0;1; \cdots ;7\}\)

"Offensichtlich" ist das gefährlichste Wort in der Mathematik.

Eric Temple Bell

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