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Oktaeder

Das Oktaeder (nach griech. oktáedron = Achtflächner) ist einer der fünf platonischen Körper, genauer ein regelmäßiges Polyeder (Vielflächner) mit

acht (kongruenten) gleichseitigen Dreiecken als Flächen
zwölf (gleich langen) Kanten und
sechs Ecken, in denen jeweils vier Flächen zusammentreffen

Das Oktaeder ist sowohl eine gleichseitige vierseitige Bipyramide (mit quadratischer Grundfläche) als auch ein gleichseitiges Antiprisma (mit einem gleichseitigen Dreieck als Grundfläche).

Symmetrie

Ein Oktaeder

Wegen seiner hohen Symmetrie - alle Ecken, Kanten und Flächen sind untereinander gleichartig - ist das Oktaeder ein reguläres Polyeder. Es hat:

drei vierzählige Drehachsen (durch gegenüber liegende Ecken)
vier dreizählige Drehachsen (durch die Mittelpunkte gegenüber liegender Flächen)
sechs zweizählige Drehachsen (durch die Mittelpunkte gegenüber liegender Kanten)
neun Symmetrieebenen (drei Ebenen durch je vier Ecken, sechs Ebenen durch jeweils zwei Ecken und zwei Kantenmittelpunkte)

und ist

punktsymmetrisch (zentralsymmetrisch)

Insgesamt hat die Symmetriegruppe des Oktaeders - die Oktaeder- oder Würfelgruppe - 48 Elemente.

Beziehungen zu anderen Polyedern

Das Oktaeder ist das zum Hexaeder (Würfel) duale Polyeder (und umgekehrt). Der einzige Sternkörper zum Oktaeder ist das reguläre Sterntetraeder, bestehend aus zwei punktsymmetrischen Tetraedern.

Mithilfe von Oktaeder und Würfel können zahlreiche Körper konstruiert werden, die ebenfalls die Würfelgruppe als Symmetriegruppe haben. So erhält man zum Beispiel

das abgestumpfte Oktaeder mit 8 Sechsecken und 6 Quadraten
das Kuboktaeder mit 8 Dreiecken und 6 Quadraten, also mit 14 Flächen, und 12 Ecken
den abgestumpften Würfel mit 8 Dreiecken und 6 Achtecken

als Durchschnitte eines Oktaeders mit einem Würfel (siehe archimedische Körper) und

das Rhombendodekaeder (mit 8+6 = 14 Ecken und 12 Rhomben als Flächen)

als konvexe Hülle einer Vereinigung eines Oktaeders mit einem Würfel.

Formeln

Formeln zum Oktaeder
Volumen
Oberflächeninhalt
Umkugelradius
Inkugelradius
Volumenanteil an der Umkugel (UK)

Verallgemeinerung

Die Analoga des Oktaeders in beliebiger Dimension n werden als (n-dimensionale) Kreuzpolytope bezeichnet und sind ebenfalls reguläre Polytope. Das n-dimensionale Kreuzpolytop hat 2n Ecken und wird von 2ⁿ (n-1)-dimensionalen Simplices (als Facetten) begrenzt. Das vierdimensionale Kreuzpolytop hat 8 Ecken, 24 gleich lange Kanten, 32 gleichseitige Dreiecke als Seitenflächen und 16 Tetraeder als Facetten. (Das eindimensionale Kreuzpolytop ist eine Strecke, das zweidimensionale Kreuzpolytop ist das Quadrat.)

Ein Modell für das n-dimensionale Kreuzpolytop ist die Einheitskugel bezüglich der l₁ -Norm

für

im Vektorraum

. Und zwar ist das (abgeschlossene) Kreuzpolytop daher * die Menge :

die konvexe Hülle der 2ⁿ Eckpunkte , wobei e_i die Einheitsvektoren sind.
der Durchschnitt der 2ⁿ Halbräume, die durch die Hyperebenen der Form

bestimmt werden und den Ursprung enthalten.

Das ist ein Mittel, das Paradies nicht zu verfehlen: auf der einen Seite einen Mathematiker, auf der anderen einen Jesuiten; mit dieser Begleitung muß man seinen Weg machen, oder man macht ihn niemals.

Friedrich der Große

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